Πανελλήνιες εξετάσεις 2009

Πανελλήνιες εξετάσεις 2009.

Για πληροφορίες σχετικά με την εισαγωγή των υποψηφίων σε ΑΕΙ, ΑΤΕΙ, Στρατιωτικές και Αστυνομικές Σχολές, κλικ στον τίτλο της ανάρτησης

Λήξη Διδακτικού έτους 2008-2009

Για να διαβάσετε τί ισχύει σχετικά με τη λήξη του διδακτικού έτους 2008-2009
και τις προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις των μαθητών των σχολείων της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, κλικ στον τίτλο της ανάρτησης.

Θέματα ενδοσχολικών και Πανελληνίων Εξετάσεων για τα ΓΕΛ και τα ΕΠΑΛ

Τα βιβλία "αξιολόγησης του μαθητή" του ΚΕΕ του ΥΠΕΠΘ έχουν γραφεί από ομάδα μαθηματικών Δ.Ε. υπό την εποπτεία Καθηγητών Πανεπιστημίου και Σχ. Συμβούλων. Σε αυτά μπορείτε να βρείτε προσομοιώσεις  διαγωνισμάτων , αλλά και εφαρμογές θεωρητικών θεμάτων με τη μορφή ερωτήσεων Σωστού-Λάθους, Πολλαπλών επιλογών, Αντιστοίχισης, Συμπλήρωσης κενού, καθώς και διάφορα είδη ασκήσεων και προβλημάτων, που θα σας βοηθήσουν να δημιουργήσετε τα δικά σας διαγωνίσματα. Ο σύνδεσμος είναι:   http://www.kee.gr/html/themata_main.php 

Για να δείτε τους συγγραφείς των βιβλίων κλικ στο σύνδεσμο   http://www.kee.gr/attachments/file/2364.pdf

Αλληλεπιδράσεις μαθηματικής παιδείας και Βυζαντινής κοινωνίας. Δημοσίευση στα Πρακτικά του 19ου Συνεδρίου της ΕΜΕ

Για να διαβάσετε το άρθρο: http://www.hms.gr/apothema/?s=se&i=762

Τί ποσοστό έχει το όνομά σας στον ανδρικό ή το γυναικείο πληθυσμό; Δημοσίευση στο περιοδικό ¨Επιθεώρηση¨ της ΕΜΕ

κλικ στο σύνδεσμο: http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4882

Τα θεωρήματα που οδήγησαν μετά από 2300 χρόνια στον τέταρτο ορισμό των κωνικών τομών

Κωνικές τομές. Για να διαβάσετε τα θεωρήματα και τους νέους ορισμούς, κλικ στον τίτλο της ανάρτησης.

Προέλευση και εξέλιξη Μαθηματικών Μεθόδων

Δημοσίευση στο Περιοδικό Review of the National (Serbian) Center for Digitization, τεύχος 12 (2008), σελ. 119-130, ISSN: 1820-0109 του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου του Βελιγραδίου.


Κλικ στον τίτλο της ανάρτησης

Εφαρμογές του Πυθαγορείου θεωρήματος-Δημοσίευση στο Review of the National (Serbian) Center for Digitization, τεύχος 9 (2006), σελ. 63-70.

Κλικ στον τίτλο της ανάρτησης

Πρόγραμμα PISA- Περιγραφή, παραδείγματα θεμάτων

Με διπλό κλικ στον τίτλο της ανάρτησης θα εμφανιστεί το αρχείο σε μορφή pdf.

Διαγωνισμός PISA - Μία πρόκληση για την Ελλάδα

Στους διαγωνισμούς που έγιναν κατά τα έτη 2000, 2003, 2006, η Ελλάδα ελάμβανε μία από τις τελευταίες θέσεις. Είναι λοιπόν σκόπιμο να προβληματιστούμε σχετικά με το τί γίνεται μέσα στην τάξη εδώ στην Ελλάδα σε σύγκριση με τις χώρες που καταλαμβάνουν τις πρώτες θέσεις. Είναι το Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών που φταίει;

Μήπως φταίει ο δάσκαλος;

Μήπως φταίνε οι μαθητές;

Τί μπορεί να αλλάξει ή να βελτιωθεί;

Μία πρόκληση για συζήτηση που θα γίνει κατά τη διάρκεια των προγραμματισμένων συναντήσεών μας.

Η ποιότητα στην Εκπαίδευση

Ολοκληρώθηκε το έργο ¨Αξιολόγηση των ποιοτικών χαρακτηριστικών του συστήματος πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης¨ που υλοποίησε το Τμήμα Ποιότητας της Εκπαίδευσης του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου κατά τα έτη 2005-2008. Το σχετικό υλικό των αποτελεσμάτων έχει αναρτηθεί στον κόμβο www.pi-schools.gr/Ερευνες

Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηματικών στα Γυμνάσια και τα Λύκεια

Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηματικών

Για τα Γυμνάσια
Στη Β’ Γυμνασίου ολοκληρώνεται μέχρι 30 Σεπτεμβρίου η διδασκαλία του κεφαλαίου Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί από το βιβλίο της Α’ τάξης Γυμνασίου. Στη Γ’ Γυμνασίου ολοκληρώνεται μέχρι 30 Σεπτεμβρίου η διδασκαλία του κεφαλαίου Γεωμετρικά Στερεά – Μέτρηση Στερεών, από το βιβλίο της Β’ τάξης Γυμνασίου.
Για τα ΓΕΛ και τα ΕΠΑΛ
Για τα ΓΕΛ σύμφωνα με το τεύχος Οδηγιών του Π.Ι. έκδοσης 2007. Για τα Εσπερινά Λύκεια βλ. στις σελίδες 165–166 του ιδίου τεύχους. Για τα ΕΠΑΛ βλ. στην ιστοσελίδα του Π.Ι.: http://www.pi-schools.gr.
Ειδικότερα για τη Β’ Λυκείου, μέχρι τη 15η Οκτωβρίου, πρέπει να διδαχθούν τα κεφάλαια 6, 7 από το βιβλίο της γεωμετρίας της Α’ Λυκείου, και μέχρι την 30ή Σεπτεμβρίου η τριγωνομετρία από το βιβλίο της άλγεβρας της Α’ Λυκείου.
Για τα Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης (Μαθηματικά Ι, με 5 ώρες διδασκαλίας την εβδομάδα) της Γ’ Λυκείου των ΕΠΑΛ βλ. νέο τεύχος οδηγιών του Π.Ι. σελ. 135.

Ανακοίνωση στο Διεθνές Συνέδριο Ψηφιοποίησης SEEDI στις 14/6/08 στο Βελιγράδι

Dr. Maria D. Chalkou
Ph.D., M.Sc. Dept. of Mathematics, University of Athens.
State School Advisor.
Home address: Vitolion 159- 18546, Piraeus, Greece.
e-mail: maracha@otenet.gr or mchalkou-p@sch.gr

Arithmetical operations, fractions, progressions, linear equations and roots of real numbers, according to the Codex Vindοbonensis phil. gr. 65 of the 15th century.

I will present you some few results of my study on the mathematical content of the anonymous Codex Vindobonensis phil. Graecus 65.This 15th century (1436) Byzantine MS which named Tractatus Mathematicus Vindobonensis Graecus and which I propose to be digitizated, includes the solution of problems of practical arithmetic, algebra, and geometry the roots of which can be traced back to antiquity.
The symbols, which are used in the manuscript are the letters of the Greek alphabet but the calculations are carried out with the new decimal Hindu-Arabic system of numeration. Even though the author is not used to the new symbolisation, it should be emphasised that the use of letters and not numbers does not affect the result, since it concerns a system in which the arithmetical value of a letter depends upon its place [62]. Thus, the author insisted on preservation of the old symbols, whilst other earlier scholars, such as Planudes (1255-1305 A.D.) in Byzantium and Fibonacci (born in 1170), who introduced the new arithmetical symbols in Western Europe, were familiar with the new system. However, the use of the new numbers was not generalized during the Byzantine period because their use created various problems in commercial mathematics.
In the codex the term “milliouni” is mentioned which means a million. According to D. E. Smith, this term first appeared in 1478 in the Italian manuscript “Arithmetic of Treviso”. We therefore have an important indication that the term “milliouni” did not first appear in the Italian “Arithmetic of Treviso” but in Codex 65, which appears to date back to 1436 A.D.
In 1494 Luca Pacioli issued the “Summa” which was the first mathematical encyclopaedia of the Renaissance. The first part includes Arithmetic and Algebra and the second part Geometry, exactly as in our MS. Pacioli used the Hindu numerals [68] in “Suma” and calls the “crosswise method” of multiplication “crocetta” (little cross). For example in multiplication of 12 with 13, initially the 2 was multiplied with 3 to make 6. Further, the “crosswise” digits of 12 and 13 were multiplied as in the codex 65, and the results are added, so we have 5. The 5 represents the decades and the 6 the units. Further multiplication of the first digits of the numbers 12 and 13 arrives at 1. The 1 represents the hundreds and thus the final result is 156. This procedure is found in the codex 65 too.
In the same work, Pacioli who taught arithmetic and commercial algebra mentions to the method of “four-sided” in multiplication of two 3-digit numbers, in which the number which multiplies is made descending downwards from the number which must be multiplied. However this is exactly how multiplication of three digit numbers is done in Codex 65, which is older than the “Suma” [41]. The similarities of this Codex in relation with the “Suma” and with the “Arithmetic of Treviso” do not stop here since in the second one, the division is done in a similar way to that of Codex 65 [42] .
Of course, the interactions between the Byzantines and Western are undoubted since Planudes makes division using the Fibonacci method, which is also identical with the method used in our MS.
To test the multiplication the anonymous author requires the remainder of the division of 15 by 7, which is 1. Because the remainder of the division of 6 by 7 is 6, multiplication of 1 with 6 placing the remainder in a circle. Finally the remainder is found in division of 90 by 7, which is 6, to be compared with the number, which has been placed in a circle. Since the two results are the same, then the multiplication is correct.
The Hindu used that method, by dividing by 9 instead of 7. Al Khwarizmi (c. 825 A. D.) was familiar with this as well as Al Karkhi (c. 1020 A.D.), who are even more ancient than the actual date of Codex 65. We also know that the Arabs had adopted this using of course the number 7, as well as 8, 9 and 11, but the check by 7 according to Fibonacci, Planudes and others ensures a very little possibility of error [44]. The same opinion was expressed by the author of our MS.
Although this procedure is not in use any more, I found it in a 20th century’s book with title ‘‘A detailed description of Theoretical Arithmetic for Practical Schools’’ of Secondary Education written by N. Nikolaou, which taught in the fifties [36]. This does not mean of course, that the aforementioned method was taught up to that time continuously at all schools. Immediately after the fall of Constantinople, the lower schools taught the ‘‘Arithmetic’’ written by Emmanuel Glyzonios for more than two and a half centuries. In this Arithmetic, the check of multiplication was done by the crosswise method [16].
In the MS the way of defining a fraction is based on the condition that the numerator must be smaller than the denominator. The same notion is extended, within the same Codex to all type of fractions. The most unusual thing is that in the Arithmetic of Pagani written in 1591 A. D. the numerator is less than the denominator, whilst all the other type of fractions is considered according to some researchers to be a subsequent discovery [45].
In Codex 65 the operations between fractions are carried out using methods similar to those of today. This is another indication of the unbroken tradition of mathematical methods until today [26].
In another chapter the author deals with problems, which are easily solved today by using linear equations, despite the fact that he himself however solves them with practical arithmetic. As is well known, the problems of equations of first order have there roots in antiquity [47]. It is worthwhile noting, that these problems were found in Arithmetic books which were considered more advanced than the usual ones [48]. This indicates that Codex 65 was probably a worthy Arithmetic of its time.
A customary method used at that time was the one of “false assumption” which leads the author, as is to be expected, to a false conclusion result, so he reaches the correct answer by applying the qualities of proportions [69].
The method of “false assumption” was particularly beloved by Diophantus, and was taught at schools in Europe and America up to the 19th century. It seems that it was very well known in Medeaval times since Fibonacci related to it in his works [49] and used it often in problems [64].
Another type of problem relates to movements for meeting or removal of ships or persons.
Metrodoros is considered as the main creator of these problems, which belong to recreational mathematics, and, as Smith asserts [51], they first appeared in the West in 1483 and were found in the manuscript ‘‘Suma’’ of Luca Pacioli, written in 1494. If Smith’s assertions are correct, it is very likely that Codex 65 is the source from which Pacioli drew subjects, when he wrote his Suma.. The question therefore arises, concerning the relationship of Codex 65 with the other two manuscripts, namely the Suma and the Arithmetic of Treviso.
Of course, the Suma was not known for new discoveries in mathematics. However it gives us information about the mathematical knowledge up to its time and is considered that it laid the foundations for the further development of algebra in the 16th century. The Arithmetic of Treviso like the codex 65 contained problems of the four operations, problems on coins’ conversion, progressions, interests, undetermined analysis, equalization as well as assignation of the perfect number. It also contained geometry problems.
On the other hand it is certain that many Latin scholars who knew ancient Greek read Greek manuscripts and were influenced by them.
Thus in this case in order to reach certain conclusions, a comparison between the contents of those Italian works and that of Codex 65 is required.
In our codex the material of algebra includes the roots of real numbers, equations up to fourth level, and the system of equation up to second level.
In accordance with the methods of calculation of the square root it appears that the root of 30 is equal to 5 5/11 (chapter 123, f. 64v). The preferred method is the same as that of Omar Khayyam. If the calculation of the root of 30 is done with the method used by Planudes, which is based on the formula of the Hero of Alexandria [23], we will have as result 5+5/10 and not 5+5/11.
From a comparison between the method of the author of Codex 65 and that of Rabdas, at first glance it appears that the latter used Hero’s formula, and that also he further considered that if A had been the higher approximation of the root, then the A1=30/A was the less approximation, and the rate (1/2) (A +A 1) was considered from Rabdas as the better of these [24].
According to this formula the better approximation would be the number 5 21/ 44.
We observe that, when in the codex 65 is given approximately the root of 30, then the number 5 21/44 is found as the second approximation of this root (chapter 123, f. 64v, 65r), which agrees with the second approximation which is found by Rabdas, although their values for the first approximation do not agree; in the codex 65 is found the number 5 5/11 while Rabdas gives 5 5/10.
The methods of calculating a square root, which I referred to above, seem to have been abandoned within the years, and finally in the year 1494 Luca Pacioli gives a method, similar to the this one which was taught at schools of secondary education some years ago in Greece. Later, in 1546, Cataneo reaches more this method [55], which reminds the art of division and raises particular difficulties, for the students, in memorizing.
I have presented to you some few results of my study on the mathematical content of the published part (f. 11r-126r) of the Codex Vind. Phil. gr. 65 (Tractatus Mathematicus Vindobonensis Graecus or TractMathVindGr). This 15th century (1436) Byzantine MS includes as I have said the solution of problems of practical arithmetic, algebra and geometry, the roots of which can be traced back to antiquity and their comparison with modern mathematical solutions reveals –apart from some differences- many identities and similarities showing the unbroken continuity of mathematical tradition through the centuries. Moreover, my research has revealed so far some important results according to which we are probably in the position to give to the TractMathVindGr the title of the Byzantine encyclopaedia of Mathematics.
www.ncd.matf.bg.ac.yu

Οι τρεις πρώτοι ορισμοί των κωνικών τομών

Οι κωνικές τομές προκύπτουν από τομή κώνου και επιπέδου. Είναι γνωστό ότι μέχρι το 1997 που προέκυψε ο 4ος ορισμός των κωνικών τομών (βλέπε στις αναρτήσεις του Οκτωβρίου), είχαμε στη διάθεσή μας τρείς ορισμούς αυτών, οι οποίοι είναι οι εξής:
1ος ορισμός
Θεωρούμε ορθό κώνο με κορυφή το σημείο Κ και μία διάμετρο βάσης αυτού έστω την ΑΒ. Συμβολίζουμε με ω τη γωνία που σχηματίζεται από την ΚΒ και την προέκταση της ΚΑ. Συμβολίζουμε με ΜΝ (άξονας συμμετρίας της κωνικής ευρισκόμενος στο επίπεδο ΚΑΒ) την τομή του επιπέδου ΚΑΒ και της κωνικής τομής. Συμβολίζουμε με α τη γωνία που σχηματίζεται από τη ΜΝ και την ΚΑ.

α) Αν η α είναι μικρότερη από την ω, τότε η κωνική τομή είναι έλλειψη. Στην ειδική περίπτωση που α=ω/2 η έλλειψη γίνεται κύκλος.
β) Αν η α είναι ίση με την ω, παραβολή.
γ) Αν η α είναι μεγαλύτερη από την ω, υπερβολή. Επειδή δε ο κώνος θεωρείται δίχωνος, προκύπτει ότι η υπερβολή έχει δύο σκέλη.
2ος ορισμός
α) Έλλειψη ονομάζουμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων (απόλυτη τιμή) από 2 δοθέντα σημεία του ιδίου επιπέδου είναι σταθερό.
β) Παραβολή ονομάζουμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου που απέχουν το ίδιο από δοθέν σημείο και δοθείσα ευθεία αυτού. Το σημείο καλείται εστία και η ευθεία διευθετούσα.
γ) Υπερβολή ονομάζουμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου, των οποίων η διαφορά των αποστάσεων (απόλυτη τιμή) από 2 δοθέντα σημεία του ιδίου επιπέδου είναι σταθερή.
3ος ορισμός
Ο τρίτος ορισμός σχετίζεται με την εκκεντρότητα.
Έχει δειχθεί ότι ο λόγος των αποστάσεων τυχόντος σημείου της κωνικής από σταθερό σημείο και σταθερή ευθεία είναι σταθερός, συμβολίζεται με e και ονομάζεται εκκεντρότητα.
α) Αν η εκκεντρότητα είναι μικρότερη από τη μονάδα, τότε η κωνική ονομάζεται έλλειψη.
β) Αν η εκκεντρότητα είναι ίση με τη μονάδα, παραβολή.
γ) Αν η εκκεντρότητα είναι μεγαλύτερη από τη μονάδα, υπερβολή.

Ἡ δεκαδικὴ ἀραβικὴ ἀρίθμηση στὴν Εὐρώπη

Κάποιοι Λατίνοι ἀλλὰ καὶ Βυζαντινοὶ συγγραφεῖς χειρογράφων τοῦ 15ου αἰώνα μ.Χ. χρησιμοποιοῦσαν ἤδη τὸ δεκαδικὸ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσεως, τὸ ὁποῖο οἱ Βυζαντινοὶ παρέλαβαν ἀπὸ τοὺς Πέρσες ὄχι κατευθεῖαν, ἀλλὰ μὲ τὴν μεσολάβηση τῶν Λατίνων γύρω στὰ 1336 μ.Χ., δηλαδὴ 100 χρόνια πρὶν ἀπὸ τὴν χρονολογία συγγραφῆς τῆς Ἑλληνικῆς Βιενναίας Μαθηματικῆς Πραγματείας. Αὐτὴ ἡ σημαντικὴ πληροφορία ἀναφέρεται στὸ 2ο κεφάλαιο αὐτοῦ τοῦ μαθηματικοῦ χειρογράφου τοῦ 15ου αἰώνα, τὸ ὁποῖο εἶναι γνωστὸ ὡς Βιενναῖος Ἑλληνικὸς φιλολογικὸς κώδικας 65. Ἡ μεσολάβηση τῶν Λατίνων ὀφειλόταν στὶς ἐμπορικὲς συναλλαγὲς, οἱ ὁποῖες ὑπῆρχαν μεταξὺ τῶν δύο αὐτῶν λαῶν, δηλαδὴ τῶν Βυζαντινῶν καὶ τῶν Λατίνων. Γνωρίζουμε ὅτι στὴν "Πτολεμαϊκὴ Σύνταξη" τὸ μηδὲν ὀνομάζεται "οὐδὲν" καὶ συμβολίζεται μὲ 0.Στὸ προαναφερθὲν χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰώνα μ.Χ. γίνεται χρήση τῶν συμβόλων α, β, γ, δ, ε, ζ, ς, η, θ, γιὰ τοὺς ἀριθμοὺς ἀπὸ τὸ 1 ὡς τὸ 9, ἀλλὰ τὸ μηδὲν συμβολίζεται μὲ ἕνα γράμμα, τὸ ὁποῖο μοιάζει μὲ τὸ ἀνεστραμμένο h (ч).
Ὁ ἀριθμὸς 10 συμβολίζεται μὲ τὸ γράμμα ι, ὁ 20 μὲ κ, ὁ 30 μὲ λ, ὁ 40 μὲ μ, ὁ 50 μὲ ν, ὁ 60 μὲ ξ, ὁ 70 μὲ ο, ὁ 80 μὲ π, ὁ 90 μὲ τὸ σύμβολο Ϟ, ὁ 100 μὲ τὸ ρ, καὶ ἀκολουθοῦν τὰ σύμβολα σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω γιὰ τοὺς ἀριθμοὺς ἀπὸ τὸ 200 ὡς τὸ 800, Γιὰ τὸ 900 δὲ χρησιμοποιεῖται τὸ σύμβολο Ϡ.
Ἡ μία χιλιάδα συμβολίζεται μὲ ͵α, οἱ δύο χιλιάδες μὲ ͵β κ.τ.λ.
Οἱ 10.000 ὀνομάζονται μυριάδες, καὶ οἱ δὲ 100 μυριάδες (δηλαδὴ τὸ δικὸ μας ἑκατομμύριο) μιλλιούνι. Ἐπίσης τὰ σημερινὰ δισεκατομμύρια ὀνομάζονται λεγεῶνες.

Τὰ σύμβολα ποὺ χρησιμοποιοῦνται γιὰ τοὺς ἀριθμοὺς εἶναι ὅπως εἴπαμε τὰ γράμματα τῆς ἑλληνικῆς ἀλφαβήτου, ἀλλὰ οἱ ὑπολογισμοὶ γίνονται μὲ τὴ νέα τότε δεκαδικὴ ἀραβικὴ ἀρίθμηση. Ὁ συγγραφέας, ὅπως καὶ ἄλλοι τῆς ἰδίας ἐποχῆς δείχνει νὰ μὴν ἔχει πλήρως ἀκόμα προσαρμοστεῖ στὴ νέα μέθοδο, τὸ δὲ σύμβολο ποὺ χρησιμοποιεῖ γιὰ τὸ μηδὲν, δηλαδὴ τὸ ἀνεστραμμένο h (ч) γνωρίζουμε ὅτι προσαρτήθηκε μεταξὺ τοῦ 12ου καὶ τοῦ 13ου αἰ. μ.Χ. ἀπὸ τοὺς Βυζαντινοὺς στὰ ἤδη ὑπάρχοντα ἐννέα ἑλληνικὰ ἀλφαβητικὰ ψηφία(1). Πρέπει ὅμως νὰ τονιστεῖ, ὅτι ἡ χρησιμοποίηση γραμμάτων καὶ ὄχι ἀριθμῶν δὲν ἐπιρρέαζε τὸ ἀποτέλεσμα, ἀφοῦ κατ' οὐσίαν ἐφάρμοζαν τὸ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης, δηλαδὴ τὸ σύστημα στὸ ὁποῖο ἡ θέση τοῦ γράμματος καθόριζε τὴν ἀριθμητικὴ ἀξία του (2).
Αὐτὸ γίνεται κατανοητὸ ἂν ἐπιχειρήσουμε νὰ γράψουμε ἕναν ἀριθμὸ π.χ τὸν 526 χρησιμοποιώντας τὰ ἑλληνικὰ γράμματα. Ὁ ἀριθμὸς αὐτὸς γράφεται ὡς φκς, ἀλλὰ καὶ ὡς εβς. Παρατηροῦμε λοιπὸν ὅτι πρόκειται γιὰ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης, ἀφοῦ τὸ γράμμα ε ποὺ δηλώνει τὸν ἀριθμὸ 5, ἂν τεθεῖ στὴ θέση τῶν ἑκατοντάδων δηλώνει 5 ἐκατοντάδες. Ὁμοίως τὸ γράμμα β τὸ ὁποῖο δηλώνει τὸν ἀριθμὸ 2, ἂν τεθεῖ στὴ θέση τῶν δεκάδων δηλώνει 2 δεκάδες, δηλαδὴ δηλώνει τὸν ἀριθμὸ 20.
Ἔτσι κάποιοι συγγραφεῖς τοῦ 15ου αἰώνα ἐπιμένουν στὴ διατήρηση τοῦ παλαιοῦ αὐτοῦ συμβολισμοῦ, ἐνῶ ἄλλοι ἀρχαιότεροι λόγιοι, ὅπως ὁ Μάξιμος Πλανούδης (1255-1305) στὸ Βυζάντιο καὶ ὁ Φιμπονάτσι (γεν. τὸ 1170), ὁ ὁποῖος εἰσήγαγε στὴ Δύση τὸν καινούργιο συμβολισμό, εἶχαν ἐξοικειωθεῖ μὲ τὸν νέο συμβολισμὸ καὶ τὸ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης. Στὸ ἔργο του Liber abacci, ὁ Φιμπονάτσι χρησιμοποιεῖ τὰ νέα ψηφία, καὶ ὁ Πλανούδης στὸ ἔργο του Ψηφοφορία κατ' Ἰνδούς(3). Ἀπ' ὅτι φαίνεται ὅμως, ἡ χρήση τοῦ νέου συμβολισμοῦ δὲν ἦταν γενικευμένη στὸ Βυζάντιο, καὶ μάλιστα γνωρίζουμε ὅτι δὲν τὰ χρησιμοποιοῦσαν διακεκριμένοι λόγιοι ὅπως ὁ Γεώργιος Παχυμέρης (σύγχρονος τοῦ Πλανούδη), ὁ Μοσχόπουλος, ὁ Νικ. Ραβδάς, ὁ Ἰωάννης Πεδιάσιμος, ὁ Βαρλαὰμ ὁ Καλαβρός, ὁ Ἰσαὰκ Ἀργυρός (14ος αἰ. μ.Χ.)(4). Πιθανότατα κάποιοι συγγραφεῖς, μεταξὺ τῶν ὁποίων ἀρκετοὶ Βυζαντινοὶ, νὰ μὴν υἱοθέτησαν τὰ νέα ψηφία καὶ λόγω τοῦ ὅτι ἡ χρήση τους δημιουργοῦσε διάφορα προβλήματα στὰ ἐμπορικὰ μαθηματικά. Τὸ 1299 μ.Χ. ὁ δῆμος τῆς Φλωρεντίας ἐξέδωσε διάταγμα, σύμφωνα μὲ τὸ ὁποῖο ἀπαγορευόταν ἡ γραφὴ τῶν ἀριθμῶν κατὰ στῆλες καὶ ἡ χρήση τῶν ἰνδικῶν ψηφίων, διότι τὸ 0 μποροῦσε εὔκολα νὰ ἀλλοιωθεῖ καὶ νὰ γίνει 6 ἢ 9, κίνδυνο ποὺ δὲν διέτρεχαν μὲ τὰ ρωμαϊκὰ ψηφία. Ἐπίσης μία ὁδηγία ποὺ ἐκδόθηκε στὴν Ἀμβέρσα τὸ 1594 προειδοποιοῦσε τοὺς ἐμπόρους, ὅτι δὲν ἔπρεπε νὰ χρησιμοποιοῦν ἀριθμητικὰ ψηφία στὰ συμφωνητικὰ καὶ τὶς συναλλαγματικές(5).
1) Βλ. Boyer- Merzbach, Ἱστ. Μαθ., σελ. 284.
2) Vogel, Βυζ. ἐϖιστ., σελ. 815.
3) Βλ. Hunger, Βυζ. Λογ., τ. ΙΙΙ, σελ. 42, 49.
4) K. Vogel, Ἐγγράμματος λογισμὸς καὶ Ἰνδικὰ ψηφία στὸ Βυζάντιο, Νεῦσις 5 (Φθιν.-Χειμ. 1996) 80.
5) Βλ. V. d. Waerden, Ἀφύπνιση, σελ. 58.

Μέθοδος ὑπολογισμοῦ ἐμβαδῶν κανονικῶν πολυγώνων

Ἱστορικὴ πρακτικὴ μέθοδος ὑπολογισμοῦ ἐμβαδῶν κανονικῶν πολυγώνων, ὅταν δίνεται ἡ πλευρά τους.
1) Ἡ διαδικασία ξεκινᾶ μὲ τὸν ὑπολογισμὸ ἐμβαδοῦ κύκλου περιμέτρου 22 σπιθαμῶν τὸ ὁποῖο εὑρίσκεται ἴσο μὲ 38 1/2.
Γνωρίζουμε ὅτι τὸ ἐμβαδὸν κύκλου ἀκτίνας ρ δίνεται ἀπὸ τὴν σχέση
Ε= πρ². Ἐπειδὴ ἡ περίμετρος Π εἶναι ἴση μὲ 22 καὶ δίνεται ἀπὸ τὴν σχέση Π= 2πρ, ὑπολογίζουμε τὴν ἀκτίνα ρ= 11/π, ὁπότε ἀντικαθιστώντας στὸν τύπο τοῦ ἐμβαδοῦ ἔχουμε:
Ε= π(121/π²)= 121/π= 38 1/2 , ἀπὸ ὅπου προκύπτει π= 3 1/7. Δηλαδὴ ἔχουμε μία προσεγγιστικὴ τιμὴ γιὰ τὸ π, τὴν ὁποία κάποιοι συγγραφεῖς τῆς ἀρχαιότητας μεταξὺ τῶν ὁποίων καὶ ὁ Ἤρων ὁ Ἀλεξανδρεὺς χρησιμοποιοῦσαν κατὰ τοὺς ὑπολογισμοὺς τους.

2) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 40-γώνου ὅταν δίδεται ἡ πλευρὰ του ἴση μὲ 1/2 μιᾶς σπιθαμῆς.
Στὸ συγκεκριμένο ζήτημα, παρατηροῦμε πὼς ἡ περίμετρος εἶναι ἴση μὲ 20 σπιθαμές, καὶ τὴν πολλαπλασιάζουμε μὲ τὸν ἑαυτόν της βρίσκοντας 400. Κατόπιν διαιροῦμε τὸ 400 μὲ τὸ 12 5/8, καὶ βρίσκουμε πὼς τὸ ἐμβαδὸν τοῦ 40-γώνου εἶναι ἴσο μὲ 31 7/10.
3) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 30-γώνου πλευρᾶς ἴσης μὲ 2/3.
Ἡ περίμετρος εἶναι ἴση μὲ 20 σπιθαμές, πολλαπλασιάζουμε τὸ 20 μὲ τὸν ἑαυτόν του, καὶ τὸ ἀποτέλεσμα τὸ ὁποῖο εἶναι 400 τὸ διαιροῦμε μὲ τὸ 12 2/3 βρίσκοντας γιὰ τὸ ἐμβαδὸν τὴ τιμὴ 31 11/19 τετραγωνικὲς σπιθαμές.
4) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 20-γώνου πλευρᾶς ἴσης μὲ 1 σπιθαμὴ.
Στὸ συγκεκριμένο πρόβλημα διαιροῦμε τὸ 400 μὲ τὸ 12 11/16 βρίσκοντας 31 1/2.
5) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 18-γώνου πλευρᾶς 1 1/9 τῆς σπιθαμῆς.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 3/4, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 31 1/3.
6) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 16-γώνου πλευρᾶς 1 1/4 τῆς σπιθαμῆς.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 5/6, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 31 1/6.
7) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 14-γώνου πλευρᾶς 1 3/7 τῆς σπιθαμῆς.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 11/12, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 30 29/30.
8) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 12-γώνου πλευρᾶς 1 2/3 τῆς σπιθαμῆς.
Διαιροῦμε τὸ 400 μὲ τὸ 13 καὶ βρίσκουμε 30 10/13.
9) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 10-γώνου πλευρᾶς 2 σπιθαμῶν.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 13 1/9, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 30 1/2.
10)Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 8-γώνου πλευρᾶς 2 1/2 σπιθαμῶν.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 13 8/31, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 30 1/6.
11)Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ ἑξαγώνου πλευρᾶς 3 1/3 σπιθαμῶν.
Στὰ χειρόγραφα τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 13 5/7, καὶ ἔτσι ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 29 1/6.
Σήμερα, ἐφ' ὅσον τὸ κανονικὸ 6-γωνο πλευρᾶς 3 1/3 ἀποτελεῖται ἀπὸ 6 ἴσα ἰσόπλευρα τρίγωνα, θὰ ὑπολογίζαμε τὸ ἐμβαδὸν χρησιμοποιώντας τὴν σχέση:
Ε= 6.[(3 1/3)²√3]/4= (3/2)(100/9)√3= 28,87 κατὰ προσέγγιση. Αὐτὴ ἡ τιμή, ὅπως διαπιστώνουμε, εἶναι μικρότερη ἀπὸ τὴν τιμὴ 29 1/6, ἡ ὁποία προκύπτει μὲ τὴν Ἱστορικὴ μέθοδο.
12)Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ πενταγώνου πλευρᾶς ἴσης μὲ 4 σπιθαμές.
Τὸ 400 στὴν συγκεκριμένη περίπτωση διαιρεῖται μὲ τὸ 14 6/13, ὁπότε προκύπτει ἐμβαδὸν ἴσο μὲ 27 2/3.

Σήμερα ὑπολογίζουμε τὴν πλευρὰ χ κανονικοῦ 10-γώνου ἐγγεγραμμένου σὲ κύκλο ἀκτίνας ρ χρησιμοποιώντας τὴν ἀναλογία ρ/χ= χ/(ρ- χ), ἀπὸ τὴν ὁποία προκύπτει ὅτι χ= (ρ/2)(√5- 1).

Κατόπιν χρησιμοποιοῦμε τὸν τύπο τοῦ Ἀρχιμήδη:
χ2ν= √[2ρ²- ρ√(4ρ²-χν²)], ἀπὸ τὸν ὁποῖον (ἐφαρμόζοντας γιὰ ν= 5 καὶ ἐπιλύοντας ὡς πρὸς χν= χ5) προκύπτει:
χ5= (ρ/2)√(10- 2√5).
Ἄν λοιπὸν ἡ πλευρὰ τοῦ πενταγώνου εἶναι ἴση μὲ 4 σπιθαμές, τότε ἀντικαθιστώντας στὴν σχέση αὐτή τὸ χ5 μὲ τὸ 4, θὰ ἔχουμε τὴν ἀκτίνα ἴση μὲ [√(10-2√5)(5+√5)]/5. Τὸ δὲ ἀπόστημα τοῦ 5-γώνου θὰ εἶναι ἴσο μὲ:
√[(10- 2√5)(5+√5)²/25- (ρ²/16)(10- 2√5)]. Ἀντικαθιστοῦμε τὴν ἤδη εὑρεθεῖσα τιμὴ τοῦ ρ, καὶ τελικὰ τὸ ἐμβαδὸν προκύπτει ἀπὸ τὸν τύπο:
Ε= 5(χ5.α5/2)=........= (5+√5)√(10+2√5)= 4√(25+10√5)= 27,6 κατὰ προσέγγιση.
13) Ὑπολογισμὸς τοῦ ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 9-γώνου
Χρησιμοποιοῦσαν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κανονικοῦ 10-γώνου καθὼς καὶ τοῦ κανονικοῦ 8-γώνου, τὰ ὁποῖα εἶναι 30 1/2 καὶ 30 1/6 ἀντίστοιχα. Εὕρισκαν τὸ "ἐξ' ἀναλόγου" αὐτῶν τῶν δύο ἀριθμῶν, τὸ ὁποῖο εἶναι ἴσο μὲ 30 1/3. Βλέπουμε ἐδῶ πὼς ἐννοοῦσαν τὴν μέση τιμὴ αὐτῶν τῶν δύο ἀριθμῶν, ἡ ὁποία μέση τιμὴ θεωροῦσαν πὼς εἶναι ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κανονικοῦ 9-γώνου.
14) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 7-γώνου
Εὕρισκαν τὸ "ἐξ ἀναλόγου" τῶν ἐμβαδῶν κανονικοῦ 8-γώνου καὶ 6-γώνου.

Ρίζες πραγματικῶν ἀριθμῶν

Κατὰ τὴν ἐπικρατέστερη ἄποψη ὅλες οἱ γνώσεις ἄλγεβρας τῶν Εὐρωπαίων κατὰ τὸν 15ο αἰ. μ.Χ. προέρχονταν ἀφενὸς μὲν ἀπὸ τὴν Ἄλγεβρα τοῦ Ἀλ Χουαρίζμι (11ος αἰ. μ.Χ.), ἀφετέρου δὲ ἀπὸ τὸ ἔργο Liber Abbaci τοῦ Φιμπονάτσι (13ος αἰ. μ.Χ.) .
Ἐκτὸς ὅμως ἀπὸ τὸν Ἀλ Χουαρίζμι, σχετικὰ μὲ τὶς ρίζες ἔγραψαν οἱ ἑξῆς Ἰνδοί: ὁ Srïdhara (11ο αἰ), ὁ Brahmagupta (7ο αἰ.), καὶ ὁ Bhascara (12ο αἰ.) , ἐνῶ μὲ ἀλγεβρικὰ θέματα ἀσχολήθηκαν ἐπίσης ὁ Āryabhata (5ος αἰ.) καὶ ὁ Mahävïra (9ος αἰ.).
Μὲ τὶς ρίζες εἶχαν ἀσχοληθεῖ καὶ Βυζαντινοὶ λόγιοι ὅπως ὁ Ἰσαὰκ Ἀργυρὸς (1310-1371) καὶ ὁ Μάξιμος Πλανούδης (1300 περίπου).
Σχετικὰ μὲ τὶς μεθόδους ὑπολογισμοῦ τῆς τετραγωνικῆς καὶ τῆς κυβικῆς ρίζας ἡ μεθοδολογία τοῦ Omar Khayyam (1048-1131), εἶναι ἡ ἑξῆς:
Ἔστω Ν 1/η =χ, μὲ Ν=αη+τ καὶ τ μικρότερο ἀπὸ (α+1)η-αη. Τότε θὰ ἰσχύει:
{(αη+τ)}1/η≃α+τ/([α+1]η-αη).
Ἂν π.χ. θέσουμε η=2 καὶ Ν=30, τότε σύμφωνα μὲ αὐτὸν τὸν τύπο θὰ ἔχουμε:
Ν=αη+τ, δηλαδὴ 30=5²+5, μὲ 5 μικρότερο τοῦ 6²-5², ἢ 5 μικρότερο τοῦ 11 καὶ
√30=√(5²+5)=5+5/(6²-5²)=5+5/11.
Ἂν ὁ ὑπολογισμὸς τῆς ρίζας τοῦ 30 γίνει μὲ τὴ μέθοδο, τὴν ὁποία χρησιμοποιοῦσε ὁ Πλανούδης, καὶ ἡ ὁποία βασιζόταν σὲ τύπο τοῦ Ἥρωνα τοῦ Ἀλεξανδρέα , θὰ ἔχουμε τὰ ἑξῆς:
√Ν=√(α²+τ)=α+τ/(2α),
δηλαδὴ √30=√(5²+5)=5+5/10 καὶ ὄχι 5+5/11.
Ὁ Ραβδᾶς χρησιμοποιοῦσε τὸν τύπο τοῦ Ἥρωνα, ἀλλ' ἐπιπλέον θεωροῦσε ὅτι ἐὰν τὸ κ εἶναι ἡ καθ' ὑπεροχὴ προσέγγιση τῆς ρίζας, τότε τὸ κ₁=Ν/κ εἶναι ἡ κατ' ἔλλειψη προσέγγιση, καὶ ἡ τιμὴ (1/2)(κ+κ₁) θεωρεῖτο ὡς ἡ καλύτερη ἀπὸ αὐτές .
Σύμφωνα μὲ τὰ ἀνωτέρω θὰ εἴχαμε τὰ ἑξῆς:
√30= (1/2){5+5/10+30/(5+5/10)}=
=(1/2){55/10+30/(55/10)}=
=(1/2)(11/2+60/11)=
=(1/2){(121+120)/22}=241/44=5 21/44.
Ὁ Βαρλαὰμ ὁ Καλαβρὸς γνωρίζει τοὺς τύπους, τοὺς ὁποίους ἀναφέραμε. Σύμφωνα μὲ αὐτόν, ἡ διαδικασία τῶν προσεγγίσεων μπορεῖ νὰ συνεχιστεῖ ἐφαρμόζοντας τὸν τύπο:
χ η+1= (χη+Ν/χη)/2, ὅπου η= 0,1,2,3,....
Οἱ μέθοδοι ὑπολογισμοῦ τετραγωνικῆς ρίζας οἱ ὁποῖες ἀναφέρθηκαν φαίνεται ὅτι ἐγκαταλήφθηκαν μὲ τὴν πάροδο τοῦ χρόνου, καὶ τελικὰ τὸ ἔτος 1494 ὁ Luca Pacioli δίνει κάποια μέθοδο, ἡ ὁποία μοιάζει μὲ αὐτὴν ποὺ ἐδιδάσκετο παλαιότερα στὰ σχολεῖα τῆς Β' θμιας ἐκπαίδευσης στὴν Ἑλλάδα. Ἀργότερα, τὸ 1546 ὁ Cataneo πλησιάζει περισσότερο αὐτὴν τὴν παλαιότερη μέθοδο , ἡ ὁποία θύμιζε τὴν πράξη τῆς διαίρεσης καὶ παρουσίαζε γιὰ τοὺς μαθητὲς ἐξαιρετικὴ δυσκολία στὴν χρήση καὶ τὴν ἀπομνημόνευση. Στο μεταξύ, το 1526 ο Christoff Rudolff, στο βιβλίο του με τίτλο :Die Coss, εισήγαγε το γνωστο σύμβολο που χρησιμοποιούμε έως και σήμερα για τη ρίζα, επειδή αυτό έμοιαζε με το αρχικό γράμμα r της λέξης radix (ριζικό).

Σχετικὰ μὲ τὴ ρίζα 3ης τάξης τὰ πράγματα ἦταν ἐντελῶς διαφορετικά. Δὲν ὑπῆρχε εὔκολη μέθοδος ὑπολογισμοῦ καὶ ἡ διαδικασία εὕρεσής της θεωρεῖτο ἰδιαίτερα ἐπίπονη. Τὸ 1559 μ.Χ. ὁ Buteo ἐπιτυγχάνει νὰ ὑπολογίζει μόνο τὸ πρῶτο ψηφίο μιᾶς κυβικῆς ρίζας. Ἕναν αἰώνα ἀργότερα, ὁ Lagny πίστευε ὅτι χρειάζεται πολὺς χρόνος γιὰ τὴν εὕρεση τῆς κυβικῆς ρίζας κάποιου μεγάλου ἀριθμοῦ . Βέβαια μὲ αὐτὸ τὸ ζήτημα ἀσχολήθηκαν καὶ ἄλλοι ἐπιστήμονες, ὅπως ὁ Mahävirä (9ος αἰ.) καὶ ὁ Φιμπονάτσι . Μάλιστα ὁ Omar Khayyam, ὅπως ἔχω ἀναφέρει, ἔχει δώσει γενικὸ τύπο εὕρεσης ρίζας τάξεως ν.
Κατὰ τὸν Ἥρωνα δέ, ἂν
α³ μικρότερο τοῦ Ν καὶ Ν μικρότερο τοῦ (α+1)³, τότε
Ν-α³=β καὶ (α+1)³-Ν=γ, ὁπότε
Ν 1/3≃α+{(α+1)β}/{(α+1)β+αγ} .
Ἐφαρμόζοντας τὸν ἀνωτέρω τύπο γιὰ Ν=30 θὰ εἴχαμε:
3 μικρότερο τῆς ∛30, καὶ ∛30 μικρότερη τοῦ 4, διότι 3³=27 καὶ 4³=64, ὁπότε
64-30=34 καὶ 30-27=3, δηλαδὴ
∛30=3+(4.3)/(4.3+3.34)=
=3+12/(12+102)=
=3 6/57=3 2/19.
Σύμφωνα μὲ τὸν Φιμπονάτσι ἰσχύει:
∛Ν=∛(α³+τ), ὁπότε
∛Ν=α+τ/{(α+1)³-α³}, ὁπότε
∛30=∛(3³+3), καὶ συνεπῶς
∛30=3+3/(4³-3³)=3 3/37.
Σύμφωνα μὲ τὸν Ο. Khayyam θὰ ἔχουμε ἀκριβῶς τὸ ἴδιο ἀποτέλεσμα μὲ αὐτὸ ποὺ δίνει ἡ μέθοδος τοῦ Φιμπονάτσι.

Μαθηματική μέθοδος, ή μέθοδος αύξησης του κέρδους;

Ὑπολογισμὸς ὄγκου δοχείου σχήματος "βαρελιοῦ".

Μαθηματικὴ μέθοδος, ἢ μέθοδος αὔξησης τοῦ κέρδους;

Εἶναι γνωστὸ ὅτι ὁ Ἀρχιμήδης εἰσάγοντας τὴ μέθοδο τῆς ἐξάντλησης ὑπολόγισε ἐμβαδὰ καὶ ὄγκους, τὰ ὁποῖα σήμερα ἐκφράζονται μέσω ὁλοκληρωμάτων[1]. Βρῆκε δηλαδὴ μέθοδο, μὲ τὴν ὁποία ὑπολόγισε ἐμβαδὰ καὶ ὄγκους στερεῶν κάθε μορφῆς, καὶ οἱ ἰδέες του ἀποτέλεσαν τὴ βάση τοῦ ὁλοκληρωτικοῦ λογισμοῦ[2] τὸν 17^ο αἰ. Ἐπίσης ὁ Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρέας, γιὰ νὰ ὑπολογίσει τὸν ὄγκο τοῦ κώνου χρησιμοποιοῦσε μία προσεγγιστικὴ μέθοδο, σύμφωνα μὲ τὴν ὁποία ὑπολόγιζε τὸ γινόμενο τοῦ ὕψους καὶ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κύκλου τοῦ ἀγομένου καθέτως πρὸς τὸ ὕψος καὶ στὸ μέσον αὐτοῦ. Γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τῶν ὄγκων τῶν στερεῶν σχήματος ἀγγείου γενικώτερα, εἶχαν γίνει καὶ ἄλλες ἀπόπειρες, ὄχι πάντοτε ἐπιτυχεῖς. Μάλιστα σὲ ἑλληνικὸ πάπυρο τοῦ 4^ου αἰ. μ.Χ. κάποιος μαθητὴς ἔχει ὑπολογίσει λανθασμένα τὸν ὄγκο ἀγγείου μὲ ἄνισες κυκλικὲς βάσεις[3]. Στὸν Μεσαίωνα πάλι, σχετικὰ μὲ τὴν ὁλοκλήρωση, ὑπῆρχε ἡ ἰδέα τοῦ χωρισμοῦ ἑνὸς ἐπιπέδου σχήματος σὲ ἄπειρα παραλληλόγραμμα, ἡ ὁποία ὅμως οὐδέποτε ἔγινε θεωρία. Τὸ 1360 ὁ Ὄρεσμος (Oresme 1320-1382)[4], μὲ τὴ μέθοδο τῶν μεγίστων καὶ ἐλαχίστων τιμῶν (Πλάτη καὶ μήκη γεωγραφικὰ) κατόρθωσε νὰ ὑπολογίσει ἐμβαδὰ περιοχῶν οἱ ὁποῖες βρίσκονταν ἀνάμεσα σὲ καμπύλες καὶ εὐθεῖες[5]. Ἀργότερα (1609) ὁ Κέπλερ ἔφθασε σὲ κάποιο χονδροειδὲς εἶδος ὁλοκλήρωσης, καὶ θεώρησε ὅτι κάθε στερεὸ ἀποτελεῖται ἀπὸ ἕνα ἀπεριόριστο πλῆθος κώνων ἢ λεπτῶν δίσκων, ἡ ἄθροιση τῶν ὁποίων ἔγινε τὸ πρόβλημα τῆς μετέπειτα ὁλοκλήρωσης.

Ἀξίζει νὰ ἀναφερθεῖ μία μέθοδος ὑπολογισμοῦ δοχείου σχήματος βαρελιοῦ, ἡ ὁποία βρέθηκε σὲ Ἑλληνικὸ χειρόγραφο ποὺ χρονολογεῖται πιθανότατα στὸ 1436 μ.Χ. Τὸ συγκεκριμένο δοχεῖο ἔχει κυκλικὲς βάσεις περιμέτρου 10 μονάδων. Ἡ περίμετρος τοῦ κύκλου (μεγίστου) ποὺ ἰσαπέχει ἀπὸ τὶς βάσεις εἶναι 22 μονάδες, καὶ τὸ ὕψος τοῦ βαρελιοῦ εἶναι 10 μονάδες.

Στὸ χειρόγραφο αὐτό, ἔχουν ὑπολογίσει τὸν μέσο ὅρο τῶν περιμέτρων τῶν 2 κύκλων, δηλαδὴ τὸν μέσον ὅρον τοῦ 22 καὶ τοῦ 10, ὁ ὁποῖος εἶναι ἴσος μὲ 16. Κατόπιν ἔχουν θεωρήσει ἕναν νέο κύκλο μὲ περίμετρο ἴση μὲ 16 καὶ, ἀπὸ τὴν περίμετρο αὐτοῦ τοῦ νέου κύκλου ἔχουν ὑπολογίσει τὸ ἐμβαδὸν του ἀκολουθώντας τὴν γνωστὴ διαδικασία (θεωροῦσαν π=22/7). Στὴ συνέχεια πολλαπλασιάζουν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τελευταίου κύκλου μὲ τὸ ὕψος τοῦ δοχείου καὶ βρίσκουν ὅτι ὁ ζητούμενος ὄγκος εἶναι κατὰ προσέγγιση ἴσος μὲ 204. Θεωροῦν δηλαδὴ, ὅτι τὸ ἀρχικὸ δοχεῖο ἔχει τὸν ἴδιο ὄγκο μὲ ἕνα δοχεῖο κυλινδρικοῦ σχήματος ἰδίου ὕψους μὲ περίμετρο βάσεως ἴση μὲ τὸν μέσον ὅρον τῶν περιμέτρων τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου κύκλου τοῦ ἀρχικοῦ δοχείου.

Ἀλλὰ καὶ μὲ μία πρακτικὴ μέθοδο, τὴν ὁποία διαθέτουμε σήμερα[6] γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τοῦ ὄγκου Ο τέτοιου εἴδους σχημάτων, ἰσχύει ὅτι

Ο≃(υ₁/6)(S₀+4S₁+S₂), ὅπου

υ₁= ἡ ἀπόσταση τῆς κάτω καὶ ἄνω τομῆς,

S₀= τὸ ἐμβαδὸν τῆς κάτω τομῆς,

S₁= τὸ ἐμβαδὸν τῆς μεσαίας τομῆς, καὶ

S₂= τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἄνω τομῆς. Ἑπομένως ἔχουμε

Ο=(10/6)(50/π+484/π)=890/π≃283,4>204

Ἂν ὁ συγγραφέας τοῦ χειρογράφου ποὺ ἀνέφερα εἶχε ἐπιρρεασθεῖ ἀπὸ τὸν Ἥρωνα τὸν Ἀλεξανδρέα, θὰ ἀκολουθοῦσε τὴν ἑξῆς πορεία[7]:

Θὰ ὕψωνε τὶς διαμέτρους τοῦ μεγίστου καὶ ἐλαχίστου κύκλου στὸ τετράγωνο, τὶς ὁποῖες κατόπιν θὰ προσέθετε, ὁπότε θὰ εἶχε:

(100/π²)+(484/π²)=584/π².

Στὴ συνέχεια θὰ ἐκτελοῦσε τὶς ἑξῆς πράξεις:

(10/π)(22/π)=220/π²

(584+220)/π²=804/π²

(804/π²)/3=268/π²

(268/π²)5=1340/π²

(1340/π²)2=2680/π²=2680/(22/7)²≃271,3 (Ὁ Ἥρων ὅταν ἐπρόκειτο γιὰ προβλήματα τέτοιου εἴδους ἔθετε π=22/7).

Παρατηροῦμε, ὅτι ἡ τιμὴ αὐτὴ συγκρινόμενη μὲ τὴν τιμὴ 204 τοῦ ἑλληνικοῦ χειρογράφου εἶναι πολὺ πλησιέστερη αὐτῆς ποὺ βρέθηκε μὲ τὴ σύγχρονη πρακτικὴ μέθοδο. Ἀναρωτιόμαστε λοιπόν, μήπως πρόκειται γιὰ συνηθισμένο λάθος ἐκείνης τῆς ἐποχῆς, ἢ μήπως ἡ μεθοδος τοῦ συγγραφέα ἀποσκοποῦσε στὸ κέρδος τῶν ἐμπόρων, ὡς μεσαζόντων μεταξὺ παραγωγῶν καὶ καταναλωτῶν.

---

[1] Γιὰ τὴ χρησιμοποίηση ἀπὸ τὸν Ἀρχιμήδη τῶν ἀρχῶν τοῦ διαφορικοῦ καὶ ὁλοκληρωτικοῦ Λογισμοῦ βλ. H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, ed. Fischer-Benzon, Kopenhagen 1886, repr. Hildesheim 1996, σελ. 440-451. Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 684.

Ὁ Ἀρχιμήδης εἶχε εἰσαγάγει καὶ χρησιμοποιοῦσε τὰ ἀθροίσματα, ὅπως στοὺς νεωτέρους χρόνους ὁ Riemann, καὶ εἶχε βρεῖ μέθοδο ἀναγωγῆς τῶν προβλημάτων μεγίστου καὶ ἐλαχίστου σὲ προβλήματα ἐφαπτομένων. Βλ. I. G. Bachmakova, "Οἱ μέθοδοι διαφόρισης τοῦ Ἀρχιμήδη", AHES, N2, 1964, τόμ. ΙΙ, σελ. 87-107.

[2] Ἀκαδ. Ἐγκυκλ. Ἀκαδ. Ἐπιστημῶν τῆς ΕΣΣΔ, ἐκδ. Γιαννίκος, Ἀθήνα 1975-76, τόμ. ΙΙ, "Διάσημοι μαθηματικοί", σελ. 478.

[3] Smith, Hist. Math., τόμ. ΙΙ, σελ. 294.

[4] Βλ. M. Clagett, "Oresme Nicole", DSB, τόμ. X, σελ. 223-230.

[5] Βλ. Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 684. V. M. Tikhomirov, Ἱστορίες γιὰ μέγιστα καὶ ἐλάχιστα, ἐκδ. Κάτοπτρο, Ἀθήνα 1999, σελ. 52-67. Struik, Hist. Math., σελ. 128.

[6] Ἀκαδ. Ἐγκυκλοπαίδεια, Ἀκαδ. Ἐπιστημῶν ΕΣΣΔ, ἐκδ. Γιαννίκος, Ἀθήνα 1975-76, τόμ. ΙΙ, "Ὁλοκλήρωμα καὶ παράγωγος", σελ. 366.

[7] Heron, Stereom., τόμ. V, σελ. 102.

Οι μεθοδοι επίλυσης Εξισώσεων στην Ιστορία των Μαθηματικών

Μία μικρὴ ἱστορία γιὰ τὶς Εξισώσεις μὲ ἀφορμὴ τὴ μελέτη τοῦ ἔργου - πηγή ποὺ εἶναι ὁ κώδικας 65, ἕνα ἑλληνικὸ μαθηματικὸ χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰώνα




Ἡ μεθοδολογία τῆς λύσεως τῶν ἐξισώσεων πρώτου καὶ δευτέρου βαθμοῦ ἦταν γνωστὴ ἀπὸ τὴν ἀρχαιότητα[1]. Ὁ Διόφαντος μάλιστα τὶς ἐχώριζε σὲ κατηγορίες, καὶ χρησιμοποιοῦσε μόνο τὴ θετικὴ ρίζα[2] χωρὶς ὅμως αὐτὸ νὰ σημαίνει ὅτι ἀγνοοῦσε τὴν ὕπαρξη τῆς ἀρνητικῆς. Βέβαια καὶ σὲ πολὺ μεταγενέστερα χειρόγραφα δὲν γινόταν λόγος γιὰ ἀρνητικὲς ρίζες.
Κατὰ τὸν 15ον αἰ. δέ, χρησιμοποιοῦσαν τὴν ἑξῆς ὁρολογία:
"Ἀριθμὸς", γιὰ κάθε πραγματικὸ ἀριθμό.
"Πρᾶγμα", γιὰ τὸν ἄγνωστο χ.
"Τζένσο"[3], γιὰ τὸ χ².
"Κοῦβο", γιὰ τὸ χ³.
"Κάδρο", γιὰ τὸ χ⁴.
Ὁ Φιμπονάτσι (1225 μ.Χ.) χρησιμοποιοῦσε τοὺς ἴδιους ὅρους γιὰ νὰ ὀνομάσει τὶς ἀνωτέρω παραστάσεις, ἐκτὸς ἀπὸ τὶς παραστάσεις χ² καὶ χ⁴ τὶς ὁποῖες ὀνόμαζε, τὴ μὲν πρώτη "quadratus" ἢ "census" ἢ "avere", καὶ τὴ δεύτερη "census"[4]. Ὁ Φιμπονάτσι εἶχε ἐπιρρεασθεῖ ἀπὸ τοὺς Ἀλ Χουαρίζμι καὶ Ἀλ Κάρα. Ὁ Ἀλ Χουαρίζμι ὅμως, ἐνῶ ὀνομάζει τὸν ἄγνωστο χ "πρᾶγμα", τὸ χ² τὸ καλεῖ "τετράγωνο" καὶ ὄχι τζένσο[5].
Στὴ Δύση ὁ Jordanus Nemorarius χρησιμοποιοῦσε τὴν ἴδια ὁρολογία[6] μὲ τὸν Φιμπονάτσι, καὶ ὁ Luca Pacioli τὸ 1494 χρησιμοποιεῖ τὴν ἴδια μεθοδολογία ἐπίλυσης[7] πρωτοβάθμιων καὶ δευτεροβάθμιων ἐξισώσεων μὲ αὐτὴν τοῦ συγγραφέα τοῦ χειρογράφου μας. Τὴν ἴδια μεθοδολογία ἐπίλυσης χρησιμοποιοῦσε ἀπὸ παλαιότερα καὶ ὁ Omar Khayyam.
Διαπιστώνουμε λοιπόν, ὅτι μπορεῖ μὲν νὰ ὑπάρχουν ἄμεσες ἐπιρροὲς ἀπὸ τὴ Δύση, ὅμως τὸν κυριότερο ρόλο διαδραματίζουν οἱ ἀλληλεπιδράσεις τῶν ἐπιστημονικῶν ἰδεῶν Ἀνατολῆς καὶ Δύσης.
Ὅσον ἀφορᾶ στὶς τριτοβάθμιες καὶ τεταρτοβάθμιες ἐξισώσεις, ὁ συγγραφέας τοῦ κώδικα 65 δίνει μεθοδολογίες λύσης οἱ ὁποῖες εἶναι λανθασμένες. Τὸ γεγονὸς αὐτὸ δὲν πρέπει νὰ μᾶς ἐκπλήσσει, διότι τὴν ἐποχὴ ἐκείνη γίνονταν ἀποτυχημένες ἀπόπειρες ἐξεύρεσης μεθοδολογίας γενικῆς λύσης γιὰ τὶς ἐξισώσεις βαθμοῦ ἀνωτέρου τοῦ δευτέρου. Στὸ ἔργο τοῦ Διόφαντου ὑπάρχει μόνο μία ἐξίσωση 3ου βαθμοῦ. Πρόκειται γιὰ τὴν ἐξίσωση χ²+2χ+3=χ³+3χ-3χ²-1, ἡ ὁποία λύνεται μὲ παραγοντοποίηση, ὁπότε ἔχουμε:
(χ-4)(χ²+1)=0, καὶ τελικὰ χ=4[8]. Τὸν 6ο αἰ. ὁ Al-Karagī περιέλαβε σὲ ἔργο του ἐξισώσεις ἀνωτέρου βαθμοῦ[9], ἐνῶ πολὺ ἀργότερα ὁ Omar Khayyam εἶχε ἀσχοληθεῖ μὲ τὶς ἐξισώσεις 3ου καὶ 4ου βαθμοῦ, χωρίς ἀποτέλεσμα[10]. Δείγματα ἐσφαλμένων λύσεων[11] τῆς τριτοβάθμιας ἐξίσωσης ἔχουμε
α) ἀπὸ τὸν Rudolff τὸ 1525 μ.Χ. γιὰ τὴν ἐξίσωση χ³=10χ²+20χ+48, τὴν ὁποία ἔλυνε ὡς ἑξῆς:
χ³+8=10χ²+20χ+56, ὁπότε
χ²-2χ+4=10χ+56/(χ+2), συνεπῶς
χ²-2χ=10χ, καὶ 4=56/(χ+2), δηλαδὴ
χ=12, καὶ
β) ἀπὸ κάποιον ἀνώνυμο συγγραφέα τοῦ 13ου αἰ. μ.Χ. γιὰ τὴν ἐξίσωση αχ³=cχ+κ, τὴν ὁποία ἔλυνε ὡς ἐξῆς:
χ³=cχ/α+κ/α, συνεπῶς
χ=c/(2α)+√[{(c/(2α)}²+κ/α].
Ὁ Pacioli τὸ 1494 μ.Χ. ἰσχυριζόταν ὅτι γιὰ τὶς τριτοβάθμιες ἐξισώσεις δὲν εἶναι δυνατὸν νὰ δοθεῖ γενικὴ λύση, καὶ ὁ Φιμπονάτσι ἔλυνε τριτοβάθμιες χρησιμοποιώντας μία μέθοδο, ἡ ὁποία εἶχε πολλὲς ὁμοιότητες μὲ τὸ σχῆμα τοῦ Horner[12]. Τελικὰ πρῶτος ὁ Cardano τὸ 1545, στὸ ἔργο του Artis magnae sive de reguli Algebraicis liber unus δημοσίευσε τὴ λύση τριτοβάθμιας ἐξίσωσης. Ἡ Ἄλγεβρα ἦταν ἀκόμα ρητορική καὶ χωρὶς σύμβολα. Ὁ Cardano στὸ ἔργο του περιέγραφε τὴν ἐξίσωση 6χ³-4χ²=34χ+24. Κατόπιν πρόσθετε καὶ στὰ δύο μέλη τὴν παράσταση 6χ³+20χ², ὁπότε ἡ ἐξίσωση διαμορφωνόταν ὡς ἑξῆς:
4χ²(3χ+4)=(2χ²+4χ+6)(3χ+4), καὶ μετὰ ἀπὸ πράξεις προέκυπτε ἡ λύση χ=3.
Ὁ Cardano ὅμως φαίνεται ὅτι γνώριζε ὅτι ὑπῆρχαν καὶ ἄλλες λύσεις[13]. Πρέπει νὰ ποῦμε ὅμως ὅτι τὴν ἀνωτέρω λύση εἶχε βρεῖ ὁ Tartaglia, ὁ ὁποῖος τὴν εἶχε ἐμπιστευθεῖ στὸν Cardano, καὶ αὐτὸς μὲ τὴ σειρά του πρόλαβε καὶ τὴ δημοσίευσε[14].
Στὴ γενικὴ λύση ὅμως τῆς τριτοβάθμιας καὶ τῆς τεταρτοβάθμιας ἐξίσωσης ἔφθασε τὸ 1615 ὁ Vietà[15], δίνοντας μία μεθοδολογία, ἡ ὁποία ἐφαρμόζεται μέχρι σήμερα.
Φαίνεται, ὅτι ὁ συγγραφέας τοῦ χειρογράφου μας, ἔχοντας ἐπίγνωση τῆς ἀδυναμίας του νὰ λύσει ἐξισώσεις ἀνωτέρου βαθμοῦ, δὲν τὶς χρησιμοποιεῖ σὲ κανένα ἀπὸ τὰ ἑπόμενα προβλήματα. Ἀντιθέτως, ἐπιδεικνύει ἐξαιρετικὴν ἄνεση στὴν ἐφαρμογὴ τῶν τύπων τῆς πρωτοβάθμιας καὶ τῆς δευτεροβάθμιας ἐξίσωσης.

[1] Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 382.
[2] Διοφ. Ἀριθμ., π.χ. πρόβλ. 6, σελ. 59. Ὁ Διόφαντος ἀπαιτοῦσε οἱ ρίζες νὰ εἶναι ὄχι μόνο θετικὲς ἀλλὰ καὶ ρητές. Βλ. Διοφ. Ἀριθμ., σελ. 172. Κ. Vogel, "Diophantus", σελ. 114. Heath, Hist. Gr. Math., τόμ. ΙΙ, σελ. 463-4.
[3] Ὁ ὅρος "census" ἢ "zensus" σημαίνει "διατίμηση φόρου ἢ πλούτου". Βλ. Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 427.
[4] Vogel, Fibonacci, σελ. 609. Ηøyrup, Sub-Sc. Math, σελ. 25.
[5] Σχετικὰ μὲ τὴ λύση ἐξισώσεων Α καὶ Β βαθμοῦ βλ. Adel Anbouba, Notes sur l’ Algèbre d’ Al-Hwarizmī, Pub. de l’ Univ. Libanaise, Beyroyth, 1968, σελ. 5-17.
[6] Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 427.
[7] ὅ. π., σελ. 442.
[8] Βλ. Διοφ. Ἀριθμ., προβλ. 17, σελ. 326. Βλ. ἐπίσης Heath, Hist. Gr. Math., τόμ. II, σελ. 465.
[9] Anbouba Adel, L’ Algèbre Al-Badī d’Al-Karagī, Publ. de l’ Univ. Libanaise, Beyrouth, 1964, σελ. 40.
[10] Ὁ Khayyam ἰσχυριζόταν, ὅτι ἡ ἐξίσωση χ³+qχ=pχ²+r μπορεῖ νὰ ἔχει τὸ πολὺ 2 ρίζες. Βλ. Youschkevitch, Κhayyam, σελ. 329.
Ὁ ἴδιος λύνει τὴν ἐξίσωση χ³+bχ²=b²c χρησιμοποιώντας κωνικὲς τομές. Δηλαδὴ θέτει χ²=by, y²=χ(c-χ) καὶ λύνει τὸ σύστημα. Βλ. Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 456.
[11] Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 457, 458.
[12] Τὸ σχῆμα τοῦ Horner ἦταν ἤδη γνωστὸ στοὺς Κινέζους καὶ στοὺς Ἄραβες. Βλ. Vogel, Fibonacci, σελ. 610.
[13] Βλ. M. Gliozzi, "Cardano Girolamo", DSB, τόμ. III, σελ. 64-67.
[14]A. Masotti, "Tartaglia Nicolo", DSB, τόμ.XIII, σελ. 258-262. Loria, Ἱστ. Μαθ., σελ. 12-27.

Λέγεται, ὅτι τὴν ἐξίσωση χ³+αχ+β=0, α>0, β<0>ἔλυσε (μὲ γενικὴ λύση) πρῶτος ὁ Scipione del Ferro (1465;-1526), χωρὶς ὅμως νὰ τὴ δημοσιεύσει. Ἡ λύση, στὴν ὁποία κατέληξε καὶ ὁ Tartaglia ἦταν:

χ=∛₍₋β/2+√(β²/4+α³/27)₎+∛₍₋β/2-√(β²/4+α³/27)₎. Βλ. V. M. Tikhomirov, Ἱστορίες γιὰ μέγιστα καὶ ἐλάχιστα, ἐκδ. Κάτοπτρο, μετάφρ. Κ. Γαβρὰς-Γ. Κατσιλιέρης, Ἀθήνα 1999, σελ. 51.

[15] Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 465. Loria, Ἱστ. Μαθ., σελ. 82-93.

Κωνικές τομές, τέταρτος ορισμός

Εδώ και 2300 χρόνια γνωρίζουμε 3 ορισμούς για τις κωνικές τομές. Το 1997 στα πλαίσια διπλωματικής εργασίας που εκπονήθηκε στο Μαθηματικό τμήμα του Ε.Κ.Π.Α. με Επιβλέποντα Καθηγητή τον κ. Ι. Αραχωβίτη για την απόκτηση μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσής μου στη Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών προέκυψε ο τέταρτος ορισμός τους, με την εξής διαδικασία:
Για τις καμπύλες των κωνικών τομών εδείχθει ότι ισχύει το αντίστροφο της γνωστής οπτικής ιδιότητας. Αυτό σήμαινε πως η οπτική ιδιότητα χαρακτηρίζει τις κωνικές τομές και κατά συνέπεια μπορούσε να χρησιμοποιηθεί σαν ορισμός επιπλέον των άλλων 3 που γνωρίζαμε μέχρι τότε.
Ο ορισμός που προέκυψε για την παραβολή π.χ. είναι ο εξής:
4ος Ορισμός Παραβολής
Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, και καμπύλη Ψ=g(Χ) παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο της. Αν υπάρχει σημείο F και δέσμη παραλλήλων ακτίνων που ανακλώμενες στις αντίστοιχες εφαπτόμενες περνούν από το F, τότε η καμπύλη θα είναι παραβολή με εστία το F, και άξονες οι οποίοι ορίζονται ως εξής:
Εάν Ο το σημείο τομής της καμπύλης με την ακτίνα που περνά από το F, θα θεωρήσουμε σύστημα συντεταγμένων που έχει θετικό ημιάξονα των y την Ο F και σαν άξονα των x την κάθετο στο Ο της Ο y, και τότε θα έχουμε την παραβολή y=f(x), με εστία το F.
Ασφαλώς, για να προκύψει ο 4ος αυτός ορισμός χρειάστηκε να αποδειχθεί πρώτα το πιο κάτω Θεώρημα:
Θεώρημα
Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, και καμπύλη Ψ=g(Χ) παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο της. Αν υπάρχει σημείο F και δέσμη παραλλήλων ακτίνων που ανακλώμενες στις αντίστοιχες εφαπτόμενες περνούν από το F, τότε η καμπύλη θα είναι παραβολή με εστία το F.
Η απόδειξη του θεωρήματος, όπως και των άλλων δύο που αφορούν την έλλειψη και την υπερβολή, καθώς και οι αντίστοιχοι ορισμοί τους ευρίσκονται 1) Στη βιβλιοθήκη του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Αθηνών (Ζητείστε το με τον κωδικό ΒΕ:6831), και 2)Στο Περιοδικό Μαθηματική Επιθεώρηση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας(www.hms.gr), στο τεύχος 48 του 1997, σελ. 32-39.