Συνολικές προβολές σελίδας

Κυριακή, 28 Οκτωβρίου 2007

Κωνικές τομές, τέταρτος ορισμός

Εδώ και 2300 χρόνια γνωρίζουμε 3 ορισμούς για τις κωνικές τομές. Το 1997 στα πλαίσια διπλωματικής εργασίας που εκπονήθηκε στο Μαθηματικό τμήμα του Ε.Κ.Π.Α. με Επιβλέποντα Καθηγητή τον κ. Ι. Αραχωβίτη για την απόκτηση μεταπτυχιακού διπλώματος ειδίκευσής μου στη Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών προέκυψε ο τέταρτος ορισμός τους, με την εξής διαδικασία:
Για τις καμπύλες των κωνικών τομών εδείχθει ότι ισχύει το αντίστροφο της γνωστής οπτικής ιδιότητας. Αυτό σήμαινε πως η οπτική ιδιότητα χαρακτηρίζει τις κωνικές τομές και κατά συνέπεια μπορούσε να χρησιμοποιηθεί σαν ορισμός επιπλέον των άλλων 3 που γνωρίζαμε μέχρι τότε.
Ο ορισμός που προέκυψε για την παραβολή π.χ. είναι ο εξής:
4ος Ορισμός Παραβολής
Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, και καμπύλη Ψ=g(Χ) παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο της. Αν υπάρχει σημείο F και δέσμη παραλλήλων ακτίνων που ανακλώμενες στις αντίστοιχες εφαπτόμενες περνούν από το F, τότε η καμπύλη θα είναι παραβολή με εστία το F, και άξονες οι οποίοι ορίζονται ως εξής:
Εάν Ο το σημείο τομής της καμπύλης με την ακτίνα που περνά από το F, θα θεωρήσουμε σύστημα συντεταγμένων που έχει θετικό ημιάξονα των y την Ο F και σαν άξονα των x την κάθετο στο Ο της Ο y, και τότε θα έχουμε την παραβολή y=f(x), με εστία το F.
Ασφαλώς, για να προκύψει ο 4ος αυτός ορισμός χρειάστηκε να αποδειχθεί πρώτα το πιο κάτω Θεώρημα:
Θεώρημα
Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, και καμπύλη Ψ=g(Χ) παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο της. Αν υπάρχει σημείο F και δέσμη παραλλήλων ακτίνων που ανακλώμενες στις αντίστοιχες εφαπτόμενες περνούν από το F, τότε η καμπύλη θα είναι παραβολή με εστία το F.
Η απόδειξη του θεωρήματος, όπως και των άλλων δύο που αφορούν την έλλειψη και την υπερβολή, καθώς και οι αντίστοιχοι ορισμοί τους ευρίσκονται 1) Στη βιβλιοθήκη του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Αθηνών (Ζητείστε το με τον κωδικό ΒΕ:6831), και 2)Στο Περιοδικό Μαθηματική Επιθεώρηση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας(www.hms.gr), στο τεύχος 48 του 1997, σελ. 32-39.