Συνολικές προβολές σελίδας

Παρασκευή, 24 Ιουλίου 2009

Καλέ μου Δάσκαλε

1) Που ξέρεις πολύ καλά πως η γνώση είναι εκτός των άλλων και αποτέλεσμα σύγκρουσης του σωστού με το λάθος, και γι' αυτό αντιμετωπίζεις τα λάθη μου σαν ευκαιρίες για να με διδάξεις και όχι να με επικρίνεις. 2) Που δίνεις στην τάξη χρώμα με μια πιο ανθρώπινη ατμόσφαιρα, αποφεύγοντας τον ξύλινο μονόλογο. 3) Που με ενθαρρύνεις και δεν με παραμελείς. Έτσι δεν φοβάμαι να πω τις απορίες μου, αλλά και τη γνώμη μου. Έτσι νοιώθω όπως πρέπει, δηλαδή σημαντικός για σένα και τους συμμαθητές μου. 4) Που μας βοηθάς να αναπτύξουμε ομαδικότητα, συναδελφικότητα, και φιλικές σχέσεις μεταξύ μας, επειδή γνωρίζεις ότι πολλές μεγάλες επιτυχίες είναι αποτέλεσμα συλλογικής προσπάθειας.

Κυριακή, 19 Ιουλίου 2009

Ἱστορικὴ Μαθηματικὴ Μέθοδος ὑπολογισμοῦ ἐμβαδῶν ἐκτάσεων ¨ἀκανόνιστου σχήματος¨

Ὑπάρχει μία μέθοδος σύμφωνα μὲ τὴν ὁποία οἱ Βυζαντινοὶ ὑπολόγιζαν κατὰ προσέγγιση τὸ ἐμβαδὸν ἐκτάσεων ἀκανονίστου σχήματος, βάσει τῆς περιμέτρου τους. Αὐτὴ ἡ προσεγγιστική τους μέθοδος ἀποσκοποῦσε στὴν ἀλλοίωση τοῦ ἀποτελέσματος γιὰ φορολογικοὺς καὶ μόνο λόγους, διότι τὰ βασικὰ ἔσοδα τοῦ κράτους τους προέρχονταν ἀπὸ τὴ φορολόγηση τῆς γῆς.

Ἂν θεωρήσουμε μὴ κυρτὸ πολυγωνικὸ σχῆμα μὲ πλευρὲς 30, 8, 10, 20, 80, 2, 1, 5, 68 σχοινία, τότε ἡ περίμετρός του εἶναι ἴση μὲ 224 σχοινία. Οἱ Βυζαντινοὶ ἀφαιροῦσαν 1 σχοινίο γιὰ κάθε 20 σχοινία (συνολικὰ ἀφαιροῦσαν 11 σχοινία, ἐπειδὴ τὸ πηλίκον τῆς διαίρεσης τοῦ 224 μὲ τὸ 20 εἶναι 11), καὶ γράφουν ὅτι αὐτὸ γίνεται "λόγω τῶν ὑπερβολῶν καὶ τῶν ἐλλείψεων". Θὰ ἔπρεπε νὰ εἶχαν λοιπόν: 224-11=213. Ἀντ' αὐτοῦ, ὅμως, ἀφαιροῦσαν τὸ 11 ἀπὸ τὸ 223 καὶ εἶχαν 212 σχοινία. Κατόπιν ἔκαναν τὶς ἑξῆς πράξεις: 212/2=106, 106/2=53, 53.53=2809 σχοινία, ἢ 1404 1/2 μοδία.

Βλέπε σέ:

1) Μαρία Χάλκου, Ἱστορία Μαθηματικῶν, Τὰ προβλήματα τῆς Γεωμετρίας στὸ Βυζάντιο, Γεωδαισία, ἐκδ. Παῦλος, ²Ἀθήνα 2007, σελ. 53.

2) J. Lefort, R. Bondoux, J- Cl. Cheynet, J.- P. Grélois, V. Kravari, Géometries du fisc Byzantin, P. Lethielleux, Paris 1991, σελ.71.

Παρασκευή, 10 Ιουλίου 2009

Μία "αστεία Μαθηματική μέθοδος"


Πρόκειται γιὰ μέθοδο ἡ ὁποία βρέθηκε σε ἑλληνικὸ μαθηματικὸ χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰ. καὶ ἀφορᾶ σὲ πρόβλημα ἀπροσδιόριστης ἀνάλυσης Α΄ βαθμοῦ[1]. Τέτοιου εἴδους πρόβλημα ὑπάρχει στὸ τέλος τῆς ἔκδοσης τῆς Ἀριθμητικῆς Εἰσαγωγῆς τοῦ Νικόμαχου τοῦ Γερασηνοῦ (2ος αἰ.), τοῦ ὁποίου ὁ συγγραφέας εἶναι ἀνώνυμος, ἀλλὰ συμπεριλήφθηκε στὴν ἔκδοση αὐτοῦ τοῦ ἔργου τοῦ Νικόμαχου τοῦ Γερασηνοῦ στὰ πλαίσια συλλογῆς τέτοιων προβλημάτων.

Στὸ ἀνωτέρω πρόβλημα στὸ ἑλληνικὸ χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰ. ζητεῖται ἀριθμὸς χ μεταξὺ τοῦ 7 καὶ τοῦ 105[2], τέτοιος ὥστε:

χ=3π+2,

χ=5ρ+2,

χ=7σ+6, ὅπου π, ρ, σ εἶναι φυσικοὶ ἀριθμοί.

Γιὰ τὴ λύση του πολλαπλασιάζεται τὸ πρῶτο ὑπόλοιπο μὲ τὸ 70 (5.7.2), τὸ δεύτερο μὲ τὸ 21 (3.7) καὶ τὸ τρίτο μὲ τὸ 15 (3.5). Τὰ γινόμενα, τὰ ὁποῖα προκύπτουν ἀπὸ τοὺς ἀνωτέρω πολλαπλασιασμοὺς προστίθενται, καὶ ἀπὸ τὸ ἄθροισμά τους ἀφαιρεῖται τὸ διπλάσιο τοῦ 105 (τὸ 105 εἶναι τὸ ε.κ.π. τῶν 3, 5, 7), ὁπότε προκύπτει ὁ ἀριθμὸς 62. Σημειωτέον, ὅτι δὲν δίνεται ἡ παραμικρὴ ἐξήγηση γιὰ τὴν ἐπιλογὴ καὶ χρήση τῶν ἀριθμῶν 70, 21, 15[3].

Βέβαια σὲ κινέζικη "κλασσικὴ ἀριθμητικὴ" τοῦ 6ου π.Χ. αἰ., τὴν ὁποία ἔγραψε ὁ Sun-Tsu, ἢ Suan-Tse, τίθεται παρεμφερὲς πρόβλημα, ὅπου ζητεῖται ἀριθμὸς χ, γιὰ τὸν ὁποῖο νὰ ἰσχύουν οἱ σχέσεις:

χ=3ψ+2

χ=5ζ+3

χ=7υ+2,

καὶ γιὰ τὴ λύση τοῦ ὁποίου ἐφαρμόζουν τὸν κανόνα Ta-yen. Αὐτὸς ὁ κανόνας εἶναι κατ' οὐσίαν ἴδιος μὲ τὸν κανόνα τοῦ Gauss. Προσδιορίζονται δηλαδή, ἴσως δοκιμαστικὰ οἱ ἀριθμοὶ κ, λ, μ, ὥστε:

5.7.κ=1(mod3)

7.3.λ=1(mod5)

3.5.μ=1(mod7), ὁπότε κ=2, λ=1, μ=1, συνεπῶς

5.7.2=70, 7.3.1=21, 3.5.1=15, καὶ

70.2+21.3+15.2=233.

Κατόπιν ἀφαιροῦμε ἀπὸ τὸ 233 ὅσες φορὲς εἶναι δυνατὸν τὸ γινόμενο 3.5.7, καὶ εὑρίσκουμε 23[4].



[1] Μαρία Χάλκου, Ἱστορία Μαθηματικῶν, Τὰ Μαθηματικὰ στὸ Βυζάντιο, 2η ἔκδοση, ἐκδ. Παῦλος, Ἀθήνα 2007, σελ. 101.

[2] Ὁ συγγραφέας τοῦ χειρογράφου ζητεῖ ἀριθμὸ μικρότερο τοῦ 100, ἀλλὰ στὸ τέλος ἀφαιρεῖ ἀπὸ τὸ 272 τὸ διπλάσιο τοῦ 105.

[3] Ὁ Νικόμαχος ἀναφέρεται σὲ "μέθοδο, δι' ἧς ἀστείως εὑρήσεις, οἷον ἀριθμὸν ἔχει τις ἐπὶ νοῦν". Σύμφωνα μὲ αὐτὴ τὴ μέθοδο, ἂν θεωρήσει κάποιος "κρυφὰ" τὸν ἀριθμὸ 28, θὰ ἀκολουθήσει τὴν ἑξῆς διαδικασία: Ἐπειδὴ τὸ 3 στὸ 28 χωρᾶ 9 φορὲς καὶ περισσεύει 1, πολλαπλασιάζει τὸ 1 μὲ τὸ 70, καὶ λαμβάνει 70. Ἐπειδὴ καὶ τὸ 5 χωρᾶ 5 φορὲς καὶ περισσεύουν 3, πολλαπλασιάζει τὸ 3 μὲ τὸ 21, καὶ λαμβάνει 63. Τέλος, ἐπειδὴ τὸ 7 χωρᾶ 4 φορὲς ἀκριβῶς, μὲ ὅποιον ἀριθμὸ καὶ ἂν πολλαπλασιάσει τὸ ὑπόλοιπο, δηλαδὴ τὸ 0, θὰ λάβει 0. Ἀκολούθως προσθέτει τὸ 70 μὲ τὸ 63 καὶ λαμβάνει 133. Ἀπὸ τὸ 133 ἀφαιρεῖ τὸ 105 καὶ λαμβάνει τὸν ἀριθμὸ 28. Βλ. Nicom., Intr. arith., σελ. 152. Σταμάτη, Ἑλληνικὰ Mαθηματικά, σελ. 5.

[4] Loria, Ἱστ. Μαθ., σελ. 210. Σύμφωνα μὲ τὸ κινέζικο θεώρημα, ἂν οἱ θετικοὶ ἀκέραιοι mϳ (ϳ=1,...,r) εἶναι ἀνὰ δύο πρῶτοι μεταξύ τους, καὶ ἂν οἱ aϳ (ϳ=1,...,r) εἶναι ἀκέραιοι ἀριθμοί, τότε οἱ r ἰσοτιμίες x=aϳ(modmϳ) (ϳ=1,...,r) ἔχουν μία κοινὴ λύση, ἡ ὁποία εἶναι μοναδικὴ (modm₁,m₂,...,mr). Βλ. J. Hunter, Ἀριθμοθεωρία, μετάφ. Ν. Κρητικοῦ, ἐκδ. Σύλλογος πρὸς διάδοσιν ὠφελίμων βιβλίων, Ἀθήνα 1974, σελ. 70.