Ρίζες πραγματικῶν ἀριθμῶν

Κατὰ τὴν ἐπικρατέστερη ἄποψη ὅλες οἱ γνώσεις ἄλγεβρας τῶν Εὐρωπαίων κατὰ τὸν 15ο αἰ. μ.Χ. προέρχονταν ἀφενὸς μὲν ἀπὸ τὴν Ἄλγεβρα τοῦ Ἀλ Χουαρίζμι (11ος αἰ. μ.Χ.), ἀφετέρου δὲ ἀπὸ τὸ ἔργο Liber Abbaci τοῦ Φιμπονάτσι (13ος αἰ. μ.Χ.) .
Ἐκτὸς ὅμως ἀπὸ τὸν Ἀλ Χουαρίζμι, σχετικὰ μὲ τὶς ρίζες ἔγραψαν οἱ ἑξῆς Ἰνδοί: ὁ Srïdhara (11ο αἰ), ὁ Brahmagupta (7ο αἰ.), καὶ ὁ Bhascara (12ο αἰ.) , ἐνῶ μὲ ἀλγεβρικὰ θέματα ἀσχολήθηκαν ἐπίσης ὁ Āryabhata (5ος αἰ.) καὶ ὁ Mahävïra (9ος αἰ.).
Μὲ τὶς ρίζες εἶχαν ἀσχοληθεῖ καὶ Βυζαντινοὶ λόγιοι ὅπως ὁ Ἰσαὰκ Ἀργυρὸς (1310-1371) καὶ ὁ Μάξιμος Πλανούδης (1300 περίπου).
Σχετικὰ μὲ τὶς μεθόδους ὑπολογισμοῦ τῆς τετραγωνικῆς καὶ τῆς κυβικῆς ρίζας ἡ μεθοδολογία τοῦ Omar Khayyam (1048-1131), εἶναι ἡ ἑξῆς:
Ἔστω Ν 1/η =χ, μὲ Ν=αη+τ καὶ τ μικρότερο ἀπὸ (α+1)η-αη. Τότε θὰ ἰσχύει:
{(αη+τ)}1/η≃α+τ/([α+1]η-αη).
Ἂν π.χ. θέσουμε η=2 καὶ Ν=30, τότε σύμφωνα μὲ αὐτὸν τὸν τύπο θὰ ἔχουμε:
Ν=αη+τ, δηλαδὴ 30=5²+5, μὲ 5 μικρότερο τοῦ 6²-5², ἢ 5 μικρότερο τοῦ 11 καὶ
√30=√(5²+5)=5+5/(6²-5²)=5+5/11.
Ἂν ὁ ὑπολογισμὸς τῆς ρίζας τοῦ 30 γίνει μὲ τὴ μέθοδο, τὴν ὁποία χρησιμοποιοῦσε ὁ Πλανούδης, καὶ ἡ ὁποία βασιζόταν σὲ τύπο τοῦ Ἥρωνα τοῦ Ἀλεξανδρέα , θὰ ἔχουμε τὰ ἑξῆς:
√Ν=√(α²+τ)=α+τ/(2α),
δηλαδὴ √30=√(5²+5)=5+5/10 καὶ ὄχι 5+5/11.
Ὁ Ραβδᾶς χρησιμοποιοῦσε τὸν τύπο τοῦ Ἥρωνα, ἀλλ' ἐπιπλέον θεωροῦσε ὅτι ἐὰν τὸ κ εἶναι ἡ καθ' ὑπεροχὴ προσέγγιση τῆς ρίζας, τότε τὸ κ₁=Ν/κ εἶναι ἡ κατ' ἔλλειψη προσέγγιση, καὶ ἡ τιμὴ (1/2)(κ+κ₁) θεωρεῖτο ὡς ἡ καλύτερη ἀπὸ αὐτές .
Σύμφωνα μὲ τὰ ἀνωτέρω θὰ εἴχαμε τὰ ἑξῆς:
√30= (1/2){5+5/10+30/(5+5/10)}=
=(1/2){55/10+30/(55/10)}=
=(1/2)(11/2+60/11)=
=(1/2){(121+120)/22}=241/44=5 21/44.
Ὁ Βαρλαὰμ ὁ Καλαβρὸς γνωρίζει τοὺς τύπους, τοὺς ὁποίους ἀναφέραμε. Σύμφωνα μὲ αὐτόν, ἡ διαδικασία τῶν προσεγγίσεων μπορεῖ νὰ συνεχιστεῖ ἐφαρμόζοντας τὸν τύπο:
χ η+1= (χη+Ν/χη)/2, ὅπου η= 0,1,2,3,....
Οἱ μέθοδοι ὑπολογισμοῦ τετραγωνικῆς ρίζας οἱ ὁποῖες ἀναφέρθηκαν φαίνεται ὅτι ἐγκαταλήφθηκαν μὲ τὴν πάροδο τοῦ χρόνου, καὶ τελικὰ τὸ ἔτος 1494 ὁ Luca Pacioli δίνει κάποια μέθοδο, ἡ ὁποία μοιάζει μὲ αὐτὴν ποὺ ἐδιδάσκετο παλαιότερα στὰ σχολεῖα τῆς Β' θμιας ἐκπαίδευσης στὴν Ἑλλάδα. Ἀργότερα, τὸ 1546 ὁ Cataneo πλησιάζει περισσότερο αὐτὴν τὴν παλαιότερη μέθοδο , ἡ ὁποία θύμιζε τὴν πράξη τῆς διαίρεσης καὶ παρουσίαζε γιὰ τοὺς μαθητὲς ἐξαιρετικὴ δυσκολία στὴν χρήση καὶ τὴν ἀπομνημόνευση. Στο μεταξύ, το 1526 ο Christoff Rudolff, στο βιβλίο του με τίτλο :Die Coss, εισήγαγε το γνωστο σύμβολο που χρησιμοποιούμε έως και σήμερα για τη ρίζα, επειδή αυτό έμοιαζε με το αρχικό γράμμα r της λέξης radix (ριζικό).

Σχετικὰ μὲ τὴ ρίζα 3ης τάξης τὰ πράγματα ἦταν ἐντελῶς διαφορετικά. Δὲν ὑπῆρχε εὔκολη μέθοδος ὑπολογισμοῦ καὶ ἡ διαδικασία εὕρεσής της θεωρεῖτο ἰδιαίτερα ἐπίπονη. Τὸ 1559 μ.Χ. ὁ Buteo ἐπιτυγχάνει νὰ ὑπολογίζει μόνο τὸ πρῶτο ψηφίο μιᾶς κυβικῆς ρίζας. Ἕναν αἰώνα ἀργότερα, ὁ Lagny πίστευε ὅτι χρειάζεται πολὺς χρόνος γιὰ τὴν εὕρεση τῆς κυβικῆς ρίζας κάποιου μεγάλου ἀριθμοῦ . Βέβαια μὲ αὐτὸ τὸ ζήτημα ἀσχολήθηκαν καὶ ἄλλοι ἐπιστήμονες, ὅπως ὁ Mahävirä (9ος αἰ.) καὶ ὁ Φιμπονάτσι . Μάλιστα ὁ Omar Khayyam, ὅπως ἔχω ἀναφέρει, ἔχει δώσει γενικὸ τύπο εὕρεσης ρίζας τάξεως ν.
Κατὰ τὸν Ἥρωνα δέ, ἂν
α³ μικρότερο τοῦ Ν καὶ Ν μικρότερο τοῦ (α+1)³, τότε
Ν-α³=β καὶ (α+1)³-Ν=γ, ὁπότε
Ν 1/3≃α+{(α+1)β}/{(α+1)β+αγ} .
Ἐφαρμόζοντας τὸν ἀνωτέρω τύπο γιὰ Ν=30 θὰ εἴχαμε:
3 μικρότερο τῆς ∛30, καὶ ∛30 μικρότερη τοῦ 4, διότι 3³=27 καὶ 4³=64, ὁπότε
64-30=34 καὶ 30-27=3, δηλαδὴ
∛30=3+(4.3)/(4.3+3.34)=
=3+12/(12+102)=
=3 6/57=3 2/19.
Σύμφωνα μὲ τὸν Φιμπονάτσι ἰσχύει:
∛Ν=∛(α³+τ), ὁπότε
∛Ν=α+τ/{(α+1)³-α³}, ὁπότε
∛30=∛(3³+3), καὶ συνεπῶς
∛30=3+3/(4³-3³)=3 3/37.
Σύμφωνα μὲ τὸν Ο. Khayyam θὰ ἔχουμε ἀκριβῶς τὸ ἴδιο ἀποτέλεσμα μὲ αὐτὸ ποὺ δίνει ἡ μέθοδος τοῦ Φιμπονάτσι.