Μία "αστεία Μαθηματική μέθοδος"

Πρόκειται γιὰ μέθοδο ἡ ὁποία βρέθηκε σε ἑλληνικὸ μαθηματικὸ χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰ. καὶ ἀφορᾶ σὲ πρόβλημα ἀπροσδιόριστης ἀνάλυσης Α΄ βαθμοῦ[1]. Τέτοιου εἴδους πρόβλημα ὑπάρχει στὸ τέλος τῆς ἔκδοσης τῆς Ἀριθμητικῆς Εἰσαγωγῆς τοῦ Νικόμαχου τοῦ Γερασηνοῦ (2^ος αἰ.), τοῦ ὁποίου ὁ συγγραφέας εἶναι ἀνώνυμος, ἀλλὰ συμπεριλήφθηκε στὴν ἔκδοση αὐτοῦ τοῦ ἔργου τοῦ Νικόμαχου τοῦ Γερασηνοῦ στὰ πλαίσια συλλογῆς τέτοιων προβλημάτων.

Στὸ ἀνωτέρω πρόβλημα στὸ ἑλληνικὸ χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰ. ζητεῖται ἀριθμὸς χ μεταξὺ τοῦ 7 καὶ τοῦ 105[2], τέτοιος ὥστε:

χ=3π+2,

χ=5ρ+2,

χ=7σ+6, ὅπου π, ρ, σ εἶναι φυσικοὶ ἀριθμοί.

Γιὰ τὴ λύση του πολλαπλασιάζεται τὸ πρῶτο ὑπόλοιπο μὲ τὸ 70 (5.7.2), τὸ δεύτερο μὲ τὸ 21 (3.7) καὶ τὸ τρίτο μὲ τὸ 15 (3.5). Τὰ γινόμενα, τὰ ὁποῖα προκύπτουν ἀπὸ τοὺς ἀνωτέρω πολλαπλασιασμοὺς προστίθενται, καὶ ἀπὸ τὸ ἄθροισμά τους ἀφαιρεῖται τὸ διπλάσιο τοῦ 105 (τὸ 105 εἶναι τὸ ε.κ.π. τῶν 3, 5, 7), ὁπότε προκύπτει ὁ ἀριθμὸς 62. Σημειωτέον, ὅτι δὲν δίνεται ἡ παραμικρὴ ἐξήγηση γιὰ τὴν ἐπιλογὴ καὶ χρήση τῶν ἀριθμῶν 70, 21, 15[3].

Βέβαια σὲ κινέζικη "κλασσικὴ ἀριθμητικὴ" τοῦ 6^ου π.Χ. αἰ., τὴν ὁποία ἔγραψε ὁ Sun-Tsu, ἢ Suan-Tse, τίθεται παρεμφερὲς πρόβλημα, ὅπου ζητεῖται ἀριθμὸς χ, γιὰ τὸν ὁποῖο νὰ ἰσχύουν οἱ σχέσεις:

χ=3ψ+2

χ=5ζ+3

χ=7υ+2,

καὶ γιὰ τὴ λύση τοῦ ὁποίου ἐφαρμόζουν τὸν κανόνα Ta-yen. Αὐτὸς ὁ κανόνας εἶναι κατ' οὐσίαν ἴδιος μὲ τὸν κανόνα τοῦ Gauss. Προσδιορίζονται δηλαδή, ἴσως δοκιμαστικὰ οἱ ἀριθμοὶ κ, λ, μ, ὥστε:

5.7.κ=1(mod3)

7.3.λ=1(mod5)

3.5.μ=1(mod7), ὁπότε κ=2, λ=1, μ=1, συνεπῶς

5.7.2=70, 7.3.1=21, 3.5.1=15, καὶ

70.2+21.3+15.2=233.

Κατόπιν ἀφαιροῦμε ἀπὸ τὸ 233 ὅσες φορὲς εἶναι δυνατὸν τὸ γινόμενο 3.5.7, καὶ εὑρίσκουμε 23[4].

---

[1] Μαρία Χάλκου, Ἱστορία Μαθηματικῶν, Τὰ Μαθηματικὰ στὸ Βυζάντιο, 2η ἔκδοση, ἐκδ. Παῦλος, Ἀθήνα 2007, σελ. 101.

[2] Ὁ συγγραφέας τοῦ χειρογράφου ζητεῖ ἀριθμὸ μικρότερο τοῦ 100, ἀλλὰ στὸ τέλος ἀφαιρεῖ ἀπὸ τὸ 272 τὸ διπλάσιο τοῦ 105.

[3] Ὁ Νικόμαχος ἀναφέρεται σὲ "μέθοδο, δι' ἧς ἀστείως εὑρήσεις, οἷον ἀριθμὸν ἔχει τις ἐπὶ νοῦν". Σύμφωνα μὲ αὐτὴ τὴ μέθοδο, ἂν θεωρήσει κάποιος "κρυφὰ" τὸν ἀριθμὸ 28, θὰ ἀκολουθήσει τὴν ἑξῆς διαδικασία: Ἐπειδὴ τὸ 3 στὸ 28 χωρᾶ 9 φορὲς καὶ περισσεύει 1, πολλαπλασιάζει τὸ 1 μὲ τὸ 70, καὶ λαμβάνει 70. Ἐπειδὴ καὶ τὸ 5 χωρᾶ 5 φορὲς καὶ περισσεύουν 3, πολλαπλασιάζει τὸ 3 μὲ τὸ 21, καὶ λαμβάνει 63. Τέλος, ἐπειδὴ τὸ 7 χωρᾶ 4 φορὲς ἀκριβῶς, μὲ ὅποιον ἀριθμὸ καὶ ἂν πολλαπλασιάσει τὸ ὑπόλοιπο, δηλαδὴ τὸ 0, θὰ λάβει 0. Ἀκολούθως προσθέτει τὸ 70 μὲ τὸ 63 καὶ λαμβάνει 133. Ἀπὸ τὸ 133 ἀφαιρεῖ τὸ 105 καὶ λαμβάνει τὸν ἀριθμὸ 28. Βλ. Nicom., Intr. arith., σελ. 152. Σταμάτη, Ἑλληνικὰ Mαθηματικά, σελ. 5.

[4] Loria, Ἱστ. Μαθ., σελ. 210. Σύμφωνα μὲ τὸ κινέζικο θεώρημα, ἂν οἱ θετικοὶ ἀκέραιοι m_ϳ (ϳ=1,...,r) εἶναι ἀνὰ δύο πρῶτοι μεταξύ τους, καὶ ἂν οἱ a_ϳ (ϳ=1,...,r) εἶναι ἀκέραιοι ἀριθμοί, τότε οἱ r ἰσοτιμίες x=a_ϳ(modmϳ) (ϳ=1,...,r) ἔχουν μία κοινὴ λύση, ἡ ὁποία εἶναι μοναδικὴ (modm₁,m₂,...,m_r). Βλ. J. Hunter, Ἀριθμοθεωρία, μετάφ. Ν. Κρητικοῦ, ἐκδ. Σύλλογος πρὸς διάδοσιν ὠφελίμων βιβλίων, Ἀθήνα 1974, σελ. 70.