Συνολικές προβολές σελίδας

Τετάρτη, 24 Ιουνίου 2009

Άρρητοι αριθμοί- Το βιβλίο Χ του Ευκλείδη

Άρρητοι αριθμοί - Το βιβλίο Χ του Ευκλείδη

Είναι γνωστό, ότι ένας αριθμός είναι άρρητος αν δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα της μορφής μ/ν, όπου μ, ν ακέραιοι με (μ, ν)= 1, και ν διάφορο του μηδενός. Οι άρρητοι αριθμοί μπορεί να είναι είτε αλγεβρικοί (ρίζες πολυωνυμικών εξισώσεων με ρητούς συντελεστές) όπως π.χ. η √3 (είναι ρίζα της εξίσωσης χ²-3= 0), είτε υπερβατικοί (δεν υπάρχει πολυωνυμική εξίσωση με ρητούς συντελεστές της οποίας να είναι ρίζες), όπως π.χ. οι αριθμοί π, e.

Το βιβλίο Χ του Ευκλείδη το οποίο σχετίζεται με τα ασύμμετρα μεγέθη μας προκαλεί δέος λόγω του όγκου αλλά και της δύσκολης μεθοδολογίας του. Θεωρείται -ίσως όχι άδικα- ένα από τα πιο βαθυστόχαστα και δυσκολονόητα μαθηματικά κείμενα στην Ιστορία των Μαθηματικών. Η πρόθεση δε να διευκρηνιστούν οι γεωμετρικές φόρμες που χρησιμοποίησε ο Ευκλείδης αποτυγχάνει ακόμα και με σύγχρονους υπολογισμούς.

Σύμφωνα με τον T. Heath οι αρχαίοι Έλληνες άρχισαν να ασχολούνται με τα ασύμμετρα μεγέθη, όταν αυτά προέκυψαν σαν ρίζες Β΄ βαθμίων εξισώσεων. Σύγχρονοι μελετητές υποστηρίζουν, πως η ανακάλυψη των ασυμμέτρων, η οποία έγινε πριν από το μέσον του 5ου αι. οφείλεται στον Πυθαγόρα.

Ο Πλάτων και ο Αριστοτέλης θεωρούσαν τη πλευρά και τη διαγώνιο του τετραγώνου ως παραδειγματικά ασύμμετρα μεγέθη, οι δε δυσκολίες που προκύπτουν για τον υπολογισμό της ρίζας του 2 έχουν ιστορία 1000 χρόνων.

Κατά τον Πλάτωνα οι γραμμές ορίζονται ως "μήκη" και τα τετράγωνα τους ως "δυνάμεις". Αυτές οι τελευταίες μπορεί να μην είναι σύμμετρες στο μήκος, αλλά μόνο κατά τα εμβαδά που παράγουν.

Κατά τον Θεαίτητο, αν έχουμε δύο γραμμές σύμμετρες σε τετράγωνο, αλλά όχι σε μήκος, τότε και ο αριθμητικός και ο γεωμετρικός καθώς και ο αρμονικός μέσος τους θα είναι άρρητες γραμμές.

Κατά τον Ευκλείδη, αν θεωρήσουμε δύο γραμμές α, β σύμμετρες μόνο σε τετράγωνο, τότε το άθροισμά τους είναι άλογος (όχι ρητή) και ονομάζεται διωνυμική γραμμή. Το ίδιο συμβαίνει και με τη διαφορά τους (αν από τη μεγαλύτερη αφαιρεθεί η μικρότερη), η οποία καλείται αποτομή. Αν για τις ίδιες γραμμές θεωρήσουμε το γινόμενό τους γ2=α.β, τότε και αυτό είναι ασύμμετρο μέγεθος και ονομάζεται μέσο εμβαδόν. Επιπλέον η γ είναι ασύμμετρο μέγεθος και ονομάζεται μέση γραμμή.

Κάτω άραγε από ποιες συνθήκες μία τετραγωνική ρίζα είναι μία διωνυμική ή μία αποτομή;

Αν λυθεί το πρόβλημα αυτό μήπως θα έχουμε το κλειδί για την εξήγηση του νοήματος όλης της θεωρίας του Ευκλείδη;