Ἱστορία Μαθηματικῶν
Ἡ ἱστορία ἑνὸς γεωμετρικού προβλήματος
Ἡ Ἑλληνικὴ Βιενναία Μαθηματικὴ Πραγματεία εἶναι ἕνα Βυζαντινὸ Μαθηματικὸ χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰ. (Codex Vindobonensis phil. Gr. 65), τὸ ὁποῖο εὑρίσκεται στὴν Ἐθνικὴ Βιβλιοθήκη τῆς Αὐστρίας. Ἡ ἐνδεκάτη ἑνότητά της (κεφ. 167-184), ἡ ὁποία ἀποτελεῖ τὸ πρῶτο μέρος τῆς Γεωμετρίας περιλαμβάνει προβλήματα ποὺ λύνονται κυρίως μὲ τὴ χρήση τοῦ Πυθαγορείου θεωρήματος, ἢ τοῦ "κανόνα τῆς σκάδρας", ὅπως αὐτὸ ὀνομάζεται ἀπὸ τὸν ἀνώνυμο συγγραφέα τοῦ χειρογράφου. Οἱ μεθοδολογίες ἐπίλυσης, ἂν καὶ σὲ ὁρισμένες περιπτώσεις δὲν εἶναι γνωστές στὸν σύγχρονο μαθηματικὸ τῆς Β' βάθμιας Ἐκπαίδευσης, ὅπως φαίνεται στὸ παράδειγμα ποὺ ἀκολουθεῖ, ἐξηγοῦνται ἐντούτοις, ἀλλὰ παραμένει ἄγνωστο τὸ γιατὶ νὰ πρέπει νὰ ἀκολουθεῖ κανεὶς τὴν συγκεκριμένη σειρὰ πράξεων ποὺ ἀκολουθεῖ ὁ ἀνώνυμος συγγραφέας τῆς Ἑλληνικῆς Βιενναίας Μαθηματικῆς Πραγματείας..
κεφ. 177. (ροζ). Εὕρεση τῆς πλευρᾶς τοῦ τετραγώνου ὅταν δίδεται ὅτι ἡ πλευρὰ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου τοῦ σχήματος εἶναι ἴση με 10.
Ἡ σειρὰ τῶν πράξεων οἱ ὁποῖες παρουσιάζονται στὸ χειρόγραφο, εἶναι ἡ ἑξῆς:
10.10= 100, 100.3/4= 75, 75.16= 1200, 75.12= 900, √1200= 34 12/19, √900= 30, 34 12/19- 30= 4 12/19= χ, (ὅπου χ εἶναι ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου).
Σήμερα θὰ ἀντιμετωπίζαμε τὸ ζήτημα ὡς ἑξῆς:
Ἡ ἱστορία ἑνὸς γεωμετρικού προβλήματος
Ἡ Ἑλληνικὴ Βιενναία Μαθηματικὴ Πραγματεία εἶναι ἕνα Βυζαντινὸ Μαθηματικὸ χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰ. (Codex Vindobonensis phil. Gr. 65), τὸ ὁποῖο εὑρίσκεται στὴν Ἐθνικὴ Βιβλιοθήκη τῆς Αὐστρίας. Ἡ ἐνδεκάτη ἑνότητά της (κεφ. 167-184), ἡ ὁποία ἀποτελεῖ τὸ πρῶτο μέρος τῆς Γεωμετρίας περιλαμβάνει προβλήματα ποὺ λύνονται κυρίως μὲ τὴ χρήση τοῦ Πυθαγορείου θεωρήματος, ἢ τοῦ "κανόνα τῆς σκάδρας", ὅπως αὐτὸ ὀνομάζεται ἀπὸ τὸν ἀνώνυμο συγγραφέα τοῦ χειρογράφου. Οἱ μεθοδολογίες ἐπίλυσης, ἂν καὶ σὲ ὁρισμένες περιπτώσεις δὲν εἶναι γνωστές στὸν σύγχρονο μαθηματικὸ τῆς Β' βάθμιας Ἐκπαίδευσης, ὅπως φαίνεται στὸ παράδειγμα ποὺ ἀκολουθεῖ, ἐξηγοῦνται ἐντούτοις, ἀλλὰ παραμένει ἄγνωστο τὸ γιατὶ νὰ πρέπει νὰ ἀκολουθεῖ κανεὶς τὴν συγκεκριμένη σειρὰ πράξεων ποὺ ἀκολουθεῖ ὁ ἀνώνυμος συγγραφέας τῆς Ἑλληνικῆς Βιενναίας Μαθηματικῆς Πραγματείας..
κεφ. 177. (ροζ). Εὕρεση τῆς πλευρᾶς τοῦ τετραγώνου ὅταν δίδεται ὅτι ἡ πλευρὰ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου τοῦ σχήματος εἶναι ἴση με 10.
Ἡ σειρὰ τῶν πράξεων οἱ ὁποῖες παρουσιάζονται στὸ χειρόγραφο, εἶναι ἡ ἑξῆς:
10.10= 100, 100.3/4= 75, 75.16= 1200, 75.12= 900, √1200= 34 12/19, √900= 30, 34 12/19- 30= 4 12/19= χ, (ὅπου χ εἶναι ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου).
Σήμερα θὰ ἀντιμετωπίζαμε τὸ ζήτημα ὡς ἑξῆς:
Θὰ θεωρούσαμε τὴν πλευρὰ τοῦ τετραγώνου ἴση μὲ χ, καὶ ἐπειδὴ τὰ τρίγωνα ΓΖΔ καὶ ΓΑΙ εἶναι ὅμοια, ἰσχύει ἡ ἀναλογία ΖΔ/ΑΙ= ΓΔ/ΓΙ, δηλαδή,
χ/(10√3/2)= (5- χ/2)/5, ἀπὸ τὴν ὁποία προκύπτει χ= 2√3(10- 5√3).
Καταλαβαίνουμε λοιπὸν ὅτι στὴν ἙλλΒιενΜαθΠραγμ. ἡ διαφορὰ
√(75.16)- √(75.12) τίθεται ἴση μὲ χ, ἐπειδὴ αὐτὴ ἡ διαφορὰ εἶναι ἴση μὲ √(3.25.4.4)- √(3.25.3.4)= 20√3- 30= 2√3(10- 5√3).
Ἡ ἐπίλυση τοῦ ἀνωτέρω προβλήματος ἔχει τὶς ρίζες της στὴν ἀρχαιότητα. Ὁ Ἀλ Χουαρίζμι τὸ ἀναφέρει σὲ ἐργασία του, ἀλλὰ βέβαια ἡ προέλευσή του ἀνάγεται στὸν Ἥρωνα τὸν Ἀλεξανδρέα[1]. Τὸ γενικότερον πρόβλημα δὲ τῆς ἐγγραφῆς τετραγώνου σὲ δοθὲν τρίγωνο ΑΒΓ καὶ τοῦ ὑπολογισμοῦ τῆς πλευρᾶς του εὑρίσκεται στὸ βιβλίο τοῦ 1952: Ἀσκήσεις Γεωμετρίας (Ἰησουϊτῶν)[2]. Ἐπίσης μία χρήσιμη μέθοδος διδασκαλίας τῆς κατασκευῆς αὐτῆς ἐκτίθεται λεπτομερῶς στὸ βιβλίο τοῦ G. Polya, Πῶς νὰ τὸ λύσω, στὶς σελίδες 51- 53.
Στὸ χειρόγραφό μας βέβαια, ὁ συγγραφέας δὲν θέτει θέμα κατασκευῆς ἐγγεγραμμένου τετραγώνου σὲ δοθὲν τρίγωνο, ἀλλὰ μόνον ὑπολογισμοῦ τῆς πλευρᾶς τοῦ ἤδη ἐγγεγραμμένου τετραγώνου.
[1] Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton UP, 1968/1985, σελ. 257.
[2] Ἀσκήσεις Γεωμετρίας (Ἰησουϊτῶν), μτφρ. Δ. Γκιόκα, τόμ. ΙΙΙ, ἐκδ. Α. Καραβία, 5Ἀθῆναι 1952, σελίδα 720.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου