Μαθηματική μέθοδος, ή μέθοδος αύξησης του κέρδους;

Ὑπολογισμὸς ὄγκου δοχείου σχήματος "βαρελιοῦ".

Μαθηματικὴ μέθοδος, ἢ μέθοδος αὔξησης τοῦ κέρδους;

Εἶναι γνωστὸ ὅτι ὁ Ἀρχιμήδης εἰσάγοντας τὴ μέθοδο τῆς ἐξάντλησης ὑπολόγισε ἐμβαδὰ καὶ ὄγκους, τὰ ὁποῖα σήμερα ἐκφράζονται μέσω ὁλοκληρωμάτων[1]. Βρῆκε δηλαδὴ μέθοδο, μὲ τὴν ὁποία ὑπολόγισε ἐμβαδὰ καὶ ὄγκους στερεῶν κάθε μορφῆς, καὶ οἱ ἰδέες του ἀποτέλεσαν τὴ βάση τοῦ ὁλοκληρωτικοῦ λογισμοῦ[2] τὸν 17^ο αἰ. Ἐπίσης ὁ Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρέας, γιὰ νὰ ὑπολογίσει τὸν ὄγκο τοῦ κώνου χρησιμοποιοῦσε μία προσεγγιστικὴ μέθοδο, σύμφωνα μὲ τὴν ὁποία ὑπολόγιζε τὸ γινόμενο τοῦ ὕψους καὶ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κύκλου τοῦ ἀγομένου καθέτως πρὸς τὸ ὕψος καὶ στὸ μέσον αὐτοῦ. Γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τῶν ὄγκων τῶν στερεῶν σχήματος ἀγγείου γενικώτερα, εἶχαν γίνει καὶ ἄλλες ἀπόπειρες, ὄχι πάντοτε ἐπιτυχεῖς. Μάλιστα σὲ ἑλληνικὸ πάπυρο τοῦ 4^ου αἰ. μ.Χ. κάποιος μαθητὴς ἔχει ὑπολογίσει λανθασμένα τὸν ὄγκο ἀγγείου μὲ ἄνισες κυκλικὲς βάσεις[3]. Στὸν Μεσαίωνα πάλι, σχετικὰ μὲ τὴν ὁλοκλήρωση, ὑπῆρχε ἡ ἰδέα τοῦ χωρισμοῦ ἑνὸς ἐπιπέδου σχήματος σὲ ἄπειρα παραλληλόγραμμα, ἡ ὁποία ὅμως οὐδέποτε ἔγινε θεωρία. Τὸ 1360 ὁ Ὄρεσμος (Oresme 1320-1382)[4], μὲ τὴ μέθοδο τῶν μεγίστων καὶ ἐλαχίστων τιμῶν (Πλάτη καὶ μήκη γεωγραφικὰ) κατόρθωσε νὰ ὑπολογίσει ἐμβαδὰ περιοχῶν οἱ ὁποῖες βρίσκονταν ἀνάμεσα σὲ καμπύλες καὶ εὐθεῖες[5]. Ἀργότερα (1609) ὁ Κέπλερ ἔφθασε σὲ κάποιο χονδροειδὲς εἶδος ὁλοκλήρωσης, καὶ θεώρησε ὅτι κάθε στερεὸ ἀποτελεῖται ἀπὸ ἕνα ἀπεριόριστο πλῆθος κώνων ἢ λεπτῶν δίσκων, ἡ ἄθροιση τῶν ὁποίων ἔγινε τὸ πρόβλημα τῆς μετέπειτα ὁλοκλήρωσης.

Ἀξίζει νὰ ἀναφερθεῖ μία μέθοδος ὑπολογισμοῦ δοχείου σχήματος βαρελιοῦ, ἡ ὁποία βρέθηκε σὲ Ἑλληνικὸ χειρόγραφο ποὺ χρονολογεῖται πιθανότατα στὸ 1436 μ.Χ. Τὸ συγκεκριμένο δοχεῖο ἔχει κυκλικὲς βάσεις περιμέτρου 10 μονάδων. Ἡ περίμετρος τοῦ κύκλου (μεγίστου) ποὺ ἰσαπέχει ἀπὸ τὶς βάσεις εἶναι 22 μονάδες, καὶ τὸ ὕψος τοῦ βαρελιοῦ εἶναι 10 μονάδες.

Στὸ χειρόγραφο αὐτό, ἔχουν ὑπολογίσει τὸν μέσο ὅρο τῶν περιμέτρων τῶν 2 κύκλων, δηλαδὴ τὸν μέσον ὅρον τοῦ 22 καὶ τοῦ 10, ὁ ὁποῖος εἶναι ἴσος μὲ 16. Κατόπιν ἔχουν θεωρήσει ἕναν νέο κύκλο μὲ περίμετρο ἴση μὲ 16 καὶ, ἀπὸ τὴν περίμετρο αὐτοῦ τοῦ νέου κύκλου ἔχουν ὑπολογίσει τὸ ἐμβαδὸν του ἀκολουθώντας τὴν γνωστὴ διαδικασία (θεωροῦσαν π=22/7). Στὴ συνέχεια πολλαπλασιάζουν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τελευταίου κύκλου μὲ τὸ ὕψος τοῦ δοχείου καὶ βρίσκουν ὅτι ὁ ζητούμενος ὄγκος εἶναι κατὰ προσέγγιση ἴσος μὲ 204. Θεωροῦν δηλαδὴ, ὅτι τὸ ἀρχικὸ δοχεῖο ἔχει τὸν ἴδιο ὄγκο μὲ ἕνα δοχεῖο κυλινδρικοῦ σχήματος ἰδίου ὕψους μὲ περίμετρο βάσεως ἴση μὲ τὸν μέσον ὅρον τῶν περιμέτρων τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου κύκλου τοῦ ἀρχικοῦ δοχείου.

Ἀλλὰ καὶ μὲ μία πρακτικὴ μέθοδο, τὴν ὁποία διαθέτουμε σήμερα[6] γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τοῦ ὄγκου Ο τέτοιου εἴδους σχημάτων, ἰσχύει ὅτι

Ο≃(υ₁/6)(S₀+4S₁+S₂), ὅπου

υ₁= ἡ ἀπόσταση τῆς κάτω καὶ ἄνω τομῆς,

S₀= τὸ ἐμβαδὸν τῆς κάτω τομῆς,

S₁= τὸ ἐμβαδὸν τῆς μεσαίας τομῆς, καὶ

S₂= τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἄνω τομῆς. Ἑπομένως ἔχουμε

Ο=(10/6)(50/π+484/π)=890/π≃283,4>204

Ἂν ὁ συγγραφέας τοῦ χειρογράφου ποὺ ἀνέφερα εἶχε ἐπιρρεασθεῖ ἀπὸ τὸν Ἥρωνα τὸν Ἀλεξανδρέα, θὰ ἀκολουθοῦσε τὴν ἑξῆς πορεία[7]:

Θὰ ὕψωνε τὶς διαμέτρους τοῦ μεγίστου καὶ ἐλαχίστου κύκλου στὸ τετράγωνο, τὶς ὁποῖες κατόπιν θὰ προσέθετε, ὁπότε θὰ εἶχε:

(100/π²)+(484/π²)=584/π².

Στὴ συνέχεια θὰ ἐκτελοῦσε τὶς ἑξῆς πράξεις:

(10/π)(22/π)=220/π²

(584+220)/π²=804/π²

(804/π²)/3=268/π²

(268/π²)5=1340/π²

(1340/π²)2=2680/π²=2680/(22/7)²≃271,3 (Ὁ Ἥρων ὅταν ἐπρόκειτο γιὰ προβλήματα τέτοιου εἴδους ἔθετε π=22/7).

Παρατηροῦμε, ὅτι ἡ τιμὴ αὐτὴ συγκρινόμενη μὲ τὴν τιμὴ 204 τοῦ ἑλληνικοῦ χειρογράφου εἶναι πολὺ πλησιέστερη αὐτῆς ποὺ βρέθηκε μὲ τὴ σύγχρονη πρακτικὴ μέθοδο. Ἀναρωτιόμαστε λοιπόν, μήπως πρόκειται γιὰ συνηθισμένο λάθος ἐκείνης τῆς ἐποχῆς, ἢ μήπως ἡ μεθοδος τοῦ συγγραφέα ἀποσκοποῦσε στὸ κέρδος τῶν ἐμπόρων, ὡς μεσαζόντων μεταξὺ παραγωγῶν καὶ καταναλωτῶν.

---

[1] Γιὰ τὴ χρησιμοποίηση ἀπὸ τὸν Ἀρχιμήδη τῶν ἀρχῶν τοῦ διαφορικοῦ καὶ ὁλοκληρωτικοῦ Λογισμοῦ βλ. H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, ed. Fischer-Benzon, Kopenhagen 1886, repr. Hildesheim 1996, σελ. 440-451. Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 684.

Ὁ Ἀρχιμήδης εἶχε εἰσαγάγει καὶ χρησιμοποιοῦσε τὰ ἀθροίσματα, ὅπως στοὺς νεωτέρους χρόνους ὁ Riemann, καὶ εἶχε βρεῖ μέθοδο ἀναγωγῆς τῶν προβλημάτων μεγίστου καὶ ἐλαχίστου σὲ προβλήματα ἐφαπτομένων. Βλ. I. G. Bachmakova, "Οἱ μέθοδοι διαφόρισης τοῦ Ἀρχιμήδη", AHES, N2, 1964, τόμ. ΙΙ, σελ. 87-107.

[2] Ἀκαδ. Ἐγκυκλ. Ἀκαδ. Ἐπιστημῶν τῆς ΕΣΣΔ, ἐκδ. Γιαννίκος, Ἀθήνα 1975-76, τόμ. ΙΙ, "Διάσημοι μαθηματικοί", σελ. 478.

[3] Smith, Hist. Math., τόμ. ΙΙ, σελ. 294.

[4] Βλ. M. Clagett, "Oresme Nicole", DSB, τόμ. X, σελ. 223-230.

[5] Βλ. Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 684. V. M. Tikhomirov, Ἱστορίες γιὰ μέγιστα καὶ ἐλάχιστα, ἐκδ. Κάτοπτρο, Ἀθήνα 1999, σελ. 52-67. Struik, Hist. Math., σελ. 128.

[6] Ἀκαδ. Ἐγκυκλοπαίδεια, Ἀκαδ. Ἐπιστημῶν ΕΣΣΔ, ἐκδ. Γιαννίκος, Ἀθήνα 1975-76, τόμ. ΙΙ, "Ὁλοκλήρωμα καὶ παράγωγος", σελ. 366.

[7] Heron, Stereom., τόμ. V, σελ. 102.