Ἡ πρώτη Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια

Ὁ ὅρος «Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια» δεν παραπέμπει σε κάποιο έργο παρόμοιο με τις σημερινὲς Ἐγκυκλοπαίδειες. Στὸ ἄρθρο ποὺ ἀκολουθεῖ δίδεται ἐπαρκὴς ἐξήγηση αὐτοῦ τοῦ ὅρου καὶ ἐπιχειρεῖται ὁ προσδιορισμὸς τῆς πρώτης Μαθηματικῆς Ἐγκυκλοπαίδειας, ἡ ὁποία χρονολογεῖται στὸν 15ο αἰώνα μ.Χ.
Σὰν σημεῖο ἀναφορᾶς αὐτῆς τῆς ἔρευνας ἔχω θεωρήσει ἕνα Βυζαντινὸ χειρόγραφο, τὸν Βιενναῖο Ἑλληνικὸ Φιλολoγικὸ κώδικα 65 τοῦ 15ου αἰ. (φύλλα 11r-126r)[1], τοῦ ὁποίου ὁ συγγραφέας εἶναι ἀνώνυμος. Οἱ Καθηγητὲς Η. Ηunger καὶ K. Vogel, οἱ ὁποῖοι ἐξέδωσαν τὸ 1963 τὰ φ. 126v-140r τοῦ ἰδίου κώδικα, θεωροῦν πιθανὴ χρονολογία συγγραφῆς του τὸ διάστημα 1430-1453 μ.Χ. Ἡ χρονολόγησή τους αὐτὴ εἶναι συμβιβαστὴ μὲ μία ἀκριβὴ χρονολογικὴ ἀναφορὰ ἡ ὁποία περιέχεται σὲ πρόβλημα ὑπολογισμοῦ τῶν ἡμερῶν ἀπὸ τὴ γέννηση τοῦ Χριστοῦ ἕως "σήμερα" (κεφ. 12, [φ. 16r], 109 Χάλκου), ὅπου "εὑρισκόμαστε" κατὰ τὸν συγγραφέα τοῦ χειρογράφου στὸ ἔτος 1436 μ.Χ. Ἑπομένως θεωρεῖται πιθανὸν τὰ φύλλα 11r-126r τοῦ χειρογράφου ποὺ ἀπετέλεσαν τὸ ἀντικείμενο τῆς μελέτης μου νὰ γράφηκαν τὸ 1436 μ. Χ.
Τὸ μεγαλύτερο μέρος τοῦ κώδικα (φ. 11r-126r) περιέχει προβλήματα ἀριθμητικῆς καὶ γεωμετρίας. Τὰ προβλήματα αὐτὰ καλύπτουν πολλὰ μαθηματικὰ πεδία καὶ ὡς ἐπὶ τὸ πλεῖστον αὐτὰ τὰ ὁποῖα διδάσκονται σήμερα στὶς διάφορες βαθμίδες τόσο τῆς πρωτοβάθμιας ὅσο καὶ τῆς δευτεροβάθμιας ἐκπαίδευσης.
Τὸ προοίμιο καὶ τὰ δύο πρῶτα κεφάλαια ἐξέδωσε ὁ J. L. Heiberg τὸ 1899. Ἡ μεταγραφὴ καὶ ἡ μελέτη τοῦ μαθηματικοῦ περιεχομένου τοῦ ὑπολοίπου χειρογράφου πραγματοποιήθηκε ἀπὸ ἐμένα. Ὁ στόχος μου ἦταν ἐν πρώτοις ἡ ἀνάλυση τῶν διδακτικῶν μεθόδων τοῦ Ἀνωνύμου συγγραφέα του καὶ στὴ συνέχεια ἡ σύγκριση αὐτῶν μὲ τὶς ἀντίστοιχες σύγχρονες μεθόδους ἐπίλυσης τῶν συγκεκριμένων προβλημάτων, καθὼς τὸ Βυζαντινὸ χειρόγραφο προοριζόταν σύμφωνα μὲ τὶς ἐκτιμήσεις μου καὶ γιὰ τὴ διδασκαλία μαθητῶν διαφόρων βαθμίδων τῆς ἐκπαίδευσης. Ἀξίζει δὲ νὰ ἀναφερθεῖ ὅτι ἡ διαδικασία προσδιορισμοῦ τῆς κάθε μεθόδου ξεχωριστὰ ὑπῆρξε ἰδιαίτερα ἐπίπονη καὶ τοῦτο διότι στὸ χειρόγραφο αὐτὸ δὲν ὑπάρχουν μαθηματικοὶ τύποι σὰν τοὺς σημερινοὺς, ἀλλὰ μόνο περιγραφὴ τρόπων ἐπίλυσης μὲ τὴ μορφὴ ὁδηγιῶν καὶ μὲ πλήρη ἀπουσία τῆς ἀντίστοιχης θεωρίας στὴν ὁποία βασίζονται. Στὴν συνέχεια ἐξήχθησαν τὰ συμπεράσματα σχετικὰ μὲ τὸν προορισμὸ τῆς πραγματείας αὐτῆς καὶ διατυπώθηκαν ὑποθέσεις σχετικὰ μὲ τὴ σημασία ποὺ εἶχε γιὰ τὴ μαθηματικὴ ἐπιστήμη τοῦ 15ου αἰ.
Στὸ ἄρθρο αὐτὸ λοιπὸν ἐπιχειρῶ μία λεπτομερέστερη περιγραφὴ προβλημάτων ὁρισμένων τομέων τῶν μαθηματικῶν ὅπως ἀναλύονται ἀπὸ τὸν Ἀνώνυμο συγγραφέα τοῦ χειρογράφου, καθὼς καὶ τῆς ἐξέλιξής τους ἀπὸ ἀρχαιοτάτων χρόνων ἕως σήμερα. Ἡ σύγκριση εἶναι ἀπαραίτητη καὶ ἐπειδὴ στὸ χειρόγραφο κάποιες μέθοδοι, ὅπως αὐτὴ τοῦ ὑπολογισμοῦ ἀθροισμάτων διαδοχικῶν ὅρων ἀριθμητικῆς προόδου, καθὼς καὶ τῆς εὕρεσης τετραγωνικῶν ριζῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν μπορεῖ νὰ ἀποδειχθοῦν χρήσιμες γιὰ τοὺς μαθητές, ὡς εὐκολότερες στὴν ἀπομνημόνευση. Τέλος, ὅπως προκύπτει ἀπὸ τὴ σύγκριση τοῦ περιεχομένου τοῦ χειρογράφου μὲ τὸ περιεχόμενο τοῦ ἔργου Summa τοῦ Pacioli, ποὺ ἕως σήμερα θεωρεῖται ὡς ἡ πρώτη Ἐγκυκλοπαίδεια Μαθηματικῶν, φαίνεται ἰσχυρὴ ἡ πιθανότητα νὰ εὑρισκόμαστε στὴ θέση νὰ τὸ ὀνομάσουμε "Βυζαντινὴ Ἐγκυκλοπαίδεια Μαθηματικῶν", καὶ ἀφοῦ μάλιστα εἶναι προγενέστερη τῆς Summa τοῦ Pacioli (1494 μ.Χ.), θὰ λέγαμε πὼς πρόκειται γιὰ τὴν πρώτη Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια, μὲ χρονολογία συγγραφῆς τὸ ἔτος 1436 μ.Χ.

Σχετικά μὲ τὶς τέσσερεις ἀριθμητικὲς πράξεις καὶ τὶς δοκιμές τους.

Τὰ σύμβολα ποὺ χρησιμοποιοῦνται γιὰ τοὺς ἀριθμοὺς στὸ χειρόγραφο εἶναι τὰ γράμματα τῆς ἑλληνικῆς ἀλφαβήτου, ἀλλὰ οἱ ὑπολογισμοὶ γίνονται μὲ τὴ νέα τότε δεκαδικὴ ἀραβικὴ ἀρίθμηση. Ἂν καὶ ὁ Ἀνώνυμος Μαθηματικὸς τοῦ 15ου αἰ. δείχνει νὰ μὴν ἔχει προσαρμοστεῖ στὴ νέα μέθοδο τῆς χρήσης τῶν ἀραβικῶν ψηφίων πρέπει νὰ τονιστεῖ, ὅτι ἡ χρησιμοποίηση γραμμάτων καὶ ὄχι ἀριθμῶν δὲν ἐπηρέαζε τὸ ἀποτέλεσμα, ἀφοῦ ἐπρόκειτο γιὰ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης, δηλαδὴ ἡ θέση τοῦ γράμματος καθόριζε τὴν ἀριθμητικὴ ἀξία του. Ἔτσι στὸ χειρόγραφο διατηρεῖται ὁ παλαιὸς συμβολισμὸς, ἐνῶ ἄλλοι προγενέστεροι λόγιοι, ὅπως ὁ Μάξιμος Πλανούδης (1255-1305) στὸ Βυζάντιο καὶ ὁ Λεονάρντο Φιμπονάτσι (13ος αἰ.), ὁ ὁποῖος εἰσήγαγε στὴ Δύση τὸν καινούργιο συμβολισμό, εἶχαν ἐξοικειωθεῖ μὲ τὸν νέο συμβολισμὸ καὶ τὸ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης. Ὁ Λεονάρντο Φιμπονάτσι χρησιμοποιεῖ τὰ νέα ψηφία στὸ Liber abacci, καὶ ὁ Μάξιμος Πλανούδης στὴ Ψηφοφορία κατ' Ἰνδούς. Ὅμως, ἡ χρήση τοῦ νέου συμβολισμοῦ δὲν ἦταν γενικευμένη στὸ Βυζάντιο. Γνωρίζουμε μάλιστα ὅτι διακεκριμένοι λόγιοι ὅπως ὁ Γεώργιος Παχυμέρης (σύγχρονος τοῦ Μάξιμου Πλανούδη), ὁ Μοσχόπουλος, ὁ Νικόλαος Ραβδᾶς, ὁ Ἰωάννης Πεδιάσιμος, ὁ Βαρλαάμ ὁ Καλαβρός, ὁ Ἰσαὰκ Ἀργυρός (14ος αἰ. μ.Χ.) δὲν χρησιμοποιοῦσαν τὰ ἀραβικὰ ψηφία. Πιθανότατα ὁ Ἀνώνυμος Μαθηματικὸς νὰ μὴν υἱοθέτησε τὰ νέα ψηφία λόγω τοῦ ὅτι ἐδημιουργοῦντο διάφορα προβλήματα στὰ ἐμπορικὰ μαθηματικὰ.
Στὸ χειρόγραφό μας ἀναφέρεται ὁ ὅρος "μιλλιούνι" (κεφ. 5, [φ. 15r], 104 Χάλκου), ὁ ὁποῖος, ὅπως προκύπτει ἀπὸ τὸν ὁρισμό, σημαίνει τὸ ἑκατομμύριο. Γνωρίζουμε βέβαια, ὅτι ὁ Μάξιμος Πλανούδης ἦταν ἀπὸ τοὺς πρώτους ποὺ χρησιμοποίησαν τὸν ὅρο milleton (δηλ. million) γιὰ τὸ ἑκατομμύριο. Σύμφωνα ὅμως μὲ τὸν D. E. Smith, ὁ ὅρος μιλλιούνι πρωτοεμφανίστηκε στὴν ἀνώνυμη Ἀριθμητικὴ τοῦ Treviso τοῦ 1478. Σ' αὐτὴν τὴν πραγματεία, ποὺ εἶναι μεταγενέστερη τοῦ χειρογράφου μας, στὴν πράξη τοῦ πολλαπλασιασμοῦ ὁ πολλαπλασιαστὴς τοποθετεῖται κατακόρυφα δίπλα στὸν πολλαπλασιαστέο καὶ ἡ πράξη γίνεται καθ' ὅμοιον τρόπο μὲ αὐτὸν ποὺ χρησιμοποιεῖται στὸ χειρόγραφο. Ἔχουμε λοιπὸν μία σημαντικὴ ἔνδειξη, ὅτι ὁ ὅρος "μιλλιούνι" δὲν πρωτοεμφανίστηκε στὴν ἰταλικὴ Ἀριθμητικὴ τοῦ Treviso ἀλλὰ στὸν κώδικα 65, ποὺ φαίνεται νὰ χρονολογεῖται στὰ 1436 μ.Χ. Τὸ 1494 ὁ Λούκα Πατσιόλι (Luca Pacioli) ἐξέδωσε τὴ Summa, στὴν ὁποία χρησιμοποιεῖ τὰ ἰνδικὰ ψηφία καὶ ὅπου ἀποκαλεῖ "crocetta" (μικρὸς σταυρός), τὴ "σταυροειδῆ μέθοδο" πολλαπλασιασμοῦ. Σύμφωνα μὲ αὐτήν γιὰ τὸν πολλαπλασιασμὸ τοῦ 12 μὲ τὸ 13 πολλαπλασιάζεται κατ' ἀρχὴν τὸ 2 μὲ τὸ 3 καὶ δίνουν 6. Στὴν συνέχεια πολλαπλασιάζονται "σταυροειδῶς" τὰ ψηφία τοῦ 12 καὶ τοῦ 13 καὶ τὰ ἀποτελέσματα αὐτῶν τῶν γινομένων προστίθενται, ὁπότε προκύπτει 1.3+1.2= 5. Τὸ 5 ἀντιπροσωπεύει τὶς δεκάδες καὶ τὸ 6 τὶς μονάδες. Κατόπιν πολλαπλασιάζονται τὰ πρῶτα ψηφία τῶν ἀριθμῶν 12 καὶ 13 καὶ δίνουν ἀποτέλεσμα 1. Τὸ 1 ἀντιπροσωπεύει τὶς ἑκατοντάδες, καὶ ἔτσι τὸ ἀποτέλεσμα τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τοῦ 12 μὲ τὸ 13 εἶναι ὁ ἀριθμὸς 156.
Ὁ ὅρος "πολλαπλασιάζω σταυροειδῶς" ἐχρησιμοποιεῖτο καὶ γιὰ τὶς ἀναλογίες τῆς μορφῆς α/β= γ/δ, ἀπὸ τὶς ὁποῖες προκύπτει ἡ ἰσότητα α.δ= β.γ. Σήμερα σὲ παρόμοιες περιπτώσεις χρησιμοποιοῦμε τὴν ἔκφραση "πολλαπλασιάζω χιαστί".
Στὸ ἴδιο ἔργο ὁ Πατσιόλι, ὁ ὁποῖος δίδασκε ἀριθμητικὴ καὶ ἄλγεβρα τοῦ ἐμπορίου, ἀναφέρει καὶ τὴ μέθοδο τοῦ "τετραπλεύρου" γιὰ τὸν πολλαπλασιασμὸ δύο τριψηφίων ἀριθμῶν, κατὰ τὴν ὁποία ὁ πολλαπλασιαστὴς τίθεται σὲ κατακόρυφη θέση ὡς πρὸς τὸν πολλαπλασιαστέο. Ὅμως, ἔτσι ἀκριβῶς γίνεται ὁ πολλαπλασιασμὸς τριψηφίων ἀριθμῶν καὶ στὸ χειρόγραφό μας, τὸ ὁποῖο ὅπως εἴπαμε εἶναι παλαιότερο ἀπὸ τὴ Summa. Οἱ ὁμοιότητες τόσο μὲ τὴ Summa, ὅσο καὶ μὲ τὴν Ἀριθμητικὴ τοῦ Treviso δὲν σταματοῦν ἐδῶ, ἀφοῦ στὴν δεύτερη καὶ ἡ διαίρεση γίνεται μὲ τρόπο παρόμοιο μὲ αὐτὸν τοῦ χειρογράφου μας. Βέβαια οἱ ἀλληλεπιδράσεις μεταξὺ Βυζαντινῶν καὶ Δυτικῶν εἶναι ἀναμφισβήτητες, γιατὶ καὶ ὁ Μάξιμος Πλανούδης ἐκτελεῖ τὴ διαίρεση μὲ τὴ μέθοδο τοῦ Λεονάρντο Φιμπονάτσι, ἡ ὁποία εἶναι ἐπίσης πανομοιότυπη μὲ τὴ μέθοδο τοῦ κώδικα 65. Ὁ Πλανούδης μάλιστα διευκρινίζει, ὅτι πρόκειται γιὰ ἐπίπονη ἐργασία, ἄποψη τὴν ὁποία εἶχαν καὶ ἄλλοι σύγχρονοί του λόγιοι.
Σχετικὰ μὲ τὴν πράξη τοῦ πολλαπλασιασμοῦ, ἀξίζει νὰ ἀναφερθεῖ ὅτι ἡ μέθοδος τῆς δοκιμῆς τοῦ πολλαπλασιασμοῦ ποὺ χρησιμοποιεῖται στὸν κώδικα 65, βασίζεται σὲ κανόνα μὲ ὑπόλοιπα διαιρέσεων μὲ τὸν ἀριθμὸ 7. Π. χ. γιὰ τὴν δοκιμὴ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τοῦ 15 μὲ τὸ 6 ὁ συγγραφέας προτείνει:
"Ἄφελε τὰ 15 ὁσάκις χωρῶσι ἐπὶ τῶν 7· δὶς οὖν 7 γίνονται 14, περιττεύει 1 μέχρι τῶν 15". Αὐτὸ σημαίνει ὅτι ζητεῖ τὸ ὑπόλοιπο τῆς διαίρεσης τοῦ 15 μὲ τὸ 7, τὸ ὁποῖο εἶναι 1. Ἐπειδὴ δὲ τὸ ὑπόλοιπο τῆς διαίρεσης τοῦ 6 μὲ τὸ 7 εἶναι 6. πολλαπλασιάζει τὸ 1 μὲ τὸ 6 καὶ θέτει τὸ ἐξαγόμενο ἐντὸς κύκλου. Τέλος βρίσκει τὸ ὑπόλοιπο τῆς διαίρεσης τοῦ 90 μὲ τὸ 7, τὸ ὁποῖο εἶναι 6 καὶ τὸ συγκρίνει μὲ τὸν ἀριθμὸ ποὺ ἔχει θέσει μέσα σὲ κύκλο. Ἐφόσον τὰ δύο ἀποτελέσματα συμπίπτουν, τότε ὁ πολλαπλασιασμὸς εἶναι σωστός.
Αὐτὴ ἡ μέθοδος δοκιμῆς ἔχει βαθειὲς ρίζες. Τὴ χρησιμοποιοῦσαν καὶ οἱ Ἰνδοί, οἱ ὁποῖοι διαιροῦσαν ὅμως μὲ τὸ 9 ἀντὶ τοῦ 7. Γνῶστες αὐτῆς τῆς μεθόδου ὑπῆρξαν ὁ Ἀλ Χουαρίζμι (alh-Khowârizmî) (825 μ. Χ.) καὶ ὁ Ἀλ Καρχί (alh-Karkhi) (1020 μ.Χ.). Ἀλλὰ καὶ οἱ Ἄραβες εἶχαν υἱοθετήσει τὴ μέθοδο αὐτή, χρησιμοποιώντας μάλιστα τόσο τὸ 7, ὅσο καὶ τὸ 8 καὶ τὸ 9 καὶ τὸ 11. Ἀπὸ τοὺς Ἄραβες φαίνεται νὰ ἐπιρρεάστηκαν ὁ Rabbi ben Ezra (1140 μ.Χ.), ὁ Johannes Hispalensis (1140 μ.Χ.), ὁ Λεονάρντο Φιμπονάτσι (1202 μ.Χ.) καὶ Μάξιμος Πλανούδης (1255-1305 μ.Χ.). Ὁ Πέλλος (1492 μ.Χ.) μάλιστα γράφει, ὅτι ἡ δοκιμὴ μὲ τὸ 7 ἐξασφαλίζει μικρότερη πιθανότητα λάθους. Τὴν ἴδια ἄποψη ἐκφράζει καὶ ὁ Ἀνώνυμος Μαθηματικὸς τοῦ χειρογράφου μας.
Βέβαια σχετικὰ μὲ τὴν ἰνδικὴ ἢ ἀραβικὴ προέλευση τῆς μεθόδου ὀφείλουμε νὰ ἐπισημάνουμε ὅτι οἱ Ἄραβες, εἰδικὰ στὴν ἄλγεβρα καὶ τὴν ἀστρονομία, εἶχαν παραλάβει τὶς γνώσεις τους ἀπὸ τοὺς Ἕλληνες. Σήμερα αὐτὴ ἡ μέθοδος δὲν χρησιμοποιεῖται πλέον.
Ὁ Ἀνὼνυμος Μαθηματικὸς συγγραφέας τοῦ χειρογράφου μας φαὶνεται νὰ δίνει ἰδιαίτερη σημασία στὴν ἐκτέλεση τῆς πράξης τοῦ πολλαπλασιασμοῦ μὲ τὴν μέθοδο χωρὶς μολύβι καὶ χαρτί, δηλαδὴ νοερῶς. Οἱ πράξεις του βασίζονται στὴν ἄλγεβρα, ἡ ὁποία ἦταν ἀκόμα περιγραφικὴ δηλαδὴ χωρὶς τὴ χρήση συμβόλων. Συγκεκριμένα γιὰ τὸν πολλαπλασιασμὸ τοῦ 13 μὲ τὸ 13 ἀκολουθεῖ τὴν ἑξῆς διαδικασία:
Πολλαπλασιάζει τὸ 10 μὲ τὸ 10 καὶ βρίσκει 100. Προσθέτει τὸ 3 μὲ τὸ 3 καὶ βρίσκει 6. Τὸ 6 τὸ κάνει 60. Πολλαπλασιάζει τὸ 3 μὲ τὸ 3 καὶ ἔχει 9. Προσθέτει τὸ 100, τὸ 60, καὶ τὸ 9 καὶ βγάζει 169. Αὐτὰ ἐξηγοῦνται σήμερα μὲ τὴν διπλῆ ἐπιμεριστικὴ ἰδιότητα, σύμφωνα μὲ τὴν ὁποία ἰσχύει: (α+β).(γ+δ)= αγ+αδ+βγ+βδ, δηλαδή 13.13= (10+3).(10+3)= 100+3.10+3.10+9= 100+60+9= 169.
Πολὺ ἀργότερα, ὅταν ὁ Cardano (1501-1576) ἐξέδωσε τὴν Practica Arithmeticae (1539) ἔδειξε καὶ αὐτὸς τὴν ἴδια ἰκανότητα στοὺς ὑπολογισμοὺς ἀπὸ μνήμης.

Τὰ κλάσματα καὶ οἱ πράξεις αὐτῶν.

Στὸ χειρόγραφό μας ὁ τρόπος ὁρισμοῦ τοῦ κλάσματος (τζάκισμα), προϋποθέτει ὁ ἀριθμητὴς νὰ εἶναι μικρότερος ἀπὸ τὸν παρανομαστή (φ. 29r, κεφ. 40). Ὁ ὁρισμὸς τοῦ κλάσματος ἀργότερα ἐπεκτείνεται καὶ ἔτσι ἐμφανίζονται στὸ χειρόγραφο κλάσματα μὲ ἀριθμητὲς μεγαλύτερους ἀπὸ τοὺς παρανομαστές (φ. 62r, κεφ. 116, φ. 76r, κεφ. 135). Στὴν Ἀριθμητικὴ τοῦ Pagani (1591 μ.Χ.) ὁ ἀριθμητὴς εἶναι μικρότερος ἀπὸ τὸν παρανομαστή, ὅμως, καὶ αὐτὸ εἶναι ἀξιοπρόσεκτο, τὸ ἀντίθετο θεωρεῖται ἀπὸ κάποιους ἐρευνητὲς - οἱ ὁποῖοι προφανῶς δὲν ἐγνώριζαν τὴν ὕπαρξη τοῦ Βιενναίου Ἑλληνικοῦ φιλ. κώδικα 65 - μεταγενέστερη ἀνακάλυψη.
Στὸν κώδικα 65 οἱ πράξεις μεταξὺ κλασμάτων ἐκτελοῦνται μὲ μεθόδους παρόμοιες μὲ τὶς σημερινές. Ὁ συγγραφέας χρησιμοποιεῖ τὸν ὅρο "ὀκτακαιδέκατον" καὶ ἄλλους συναφεῖς μὲ αὐτόν, γιὰ νὰ δηλώσει τὸ 1/18 καὶ ἄλλα παρόμοια κλάσματα. Ἐδῶ εἶναι ἐμφανὴς ἡ ἐπιρροὴ ἀπὸ τὴν ἀρχαιότητα, δηλαδὴ τοῦ Ἥρωνα τοῦ Ἀλεξανδρέα, ἡ ὁποία φθάνει ἕως τὸν Γεώργιο Παχυμέρη, καθὼς καὶ οἱ δύο αὐτοὶ μεταχειρίζονταν τοὺς ἴδιους ὅρους γιὰ νὰ κατονομάσουν τὰ κλάσματα.
Ὅπως εἶναι γνωστό, ἡ μέθοδος τῶν τριῶν, θεωρεῖται ἰνδικῆς προέλευσης, καὶ ἀργότερα υἱοθετήθηκε ἀπὸ τοὺς Ἄραβες καὶ τοὺς Λατίνους· ὑπῆρξε ἐξαιρετικὰ δημοφιλὴς στὸν κόσμο τοῦ ἐμπορίου. Στὸν κώδικα 65 χρησιμοποιεῖται συχνὰ μὲ τὸ ὄνομα ἡ "διὰ τῶν τριῶν μεταχείρισις" (κεφ. 53), βασίζεται δὲ στὶς ἰδιότητες τῶν ἀναλογιῶν (κεφ. 55).
Συγκεκριμένα στὸ κεφ. 53 ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας θὲτει τὸ ἑξῆς πρόβλημα: "Ἐὰν τὰ 3 γίνωνται 4, τὰ 5 πόσα γίνονται;"
Πρόκειται γιὰ κλασικὴ περίπτωση ἀναλογιῶν ὅπου χρησιμοποιεῖ μάλιστα καὶ τὸν ὅρο "πολλαπλασίαζε σταυροειδῶς", προκειμένου νὰ διδάξει αὐτὸ ποὺ σήμερα ὀνομάζουμε πολλαπλασιασμὸ χιαστί. Ἐκτὸς δὲ ἀπὸ τὸ ἀνωτέρω πρόβλημα, θέτει καὶ τὸ ἀκόλουθο: Ἐὰν τὰ 11 γίνωνται 15, τὰ 20 πόσα γίνονται;
Σ' αὐτὰ τὰ προβλήματα χρησιμοποιεῖ γιὰ πρώτη φορὰ τὸν ὅρο: "μεταχείρισις διὰ τῶν τριῶν", καὶ ἐννοεῖ τὴν διὰ τῶν τριῶν μέθοδο τὴν ὁποία διδάσκουμε σήμερα στοὺς μαθητές. Πολλαπλασιάζει λοιπὸν τὸ 5 μὲ τὸ 4 καὶ διαιρεῖ μὲ τὸ 3. Τὸ ἀποτέλεσμα εἶναι 6 2/3. Προφανῶς στηρίζεται στὴν ἰσότητα τῶν λόγων 3/4= 5/χ, ὅπου μὲ τὸν ἴδιο τρόπο θὰ βρίσκαμε σήμερα ὅτι χ= 6 2/3.
Στὸ κεφ. 55 τὸ πρόβλημα εἶναι τὸ ἑξῆς: "Ἐὰν 8-κις 8 γίνωνται 100, 12-κις 12 πόσα γίνονται;"
Ἡ λύση ποὺ δίνει ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας βασίζεται στὴν ἀναλογία 100/64= χ/144 σύμφωνα μὲ τὴν ὁποία χ= 225. Γράφει δέ: "Ὃν γὰρ λόγον ἔχοσιν τὰ 100 πρὸς τὰ 64, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοσιν καὶ τὰ 225 πρὸς τὰ 144".
Οἱ προσεγγίσεις τοῦ Ἀνωνύμου συγγραφέα δὲν δύναται βέβαια νὰ ὀνομαστοῦν θεωρητικές, ἐντούτοις ὅμως πρόκειται οὐσιαστικὰ γιὰ ἄμεση ἐφαρμογὴ τῆς θεωρίας.
Ἡ μέθοδος τῶν τριῶν ἀποτελοῦσε ἕναν θαυμάσιο τρόπο γιὰ νὰ διδάξουν οἱ δάσκαλοι ἐκείνων ἀλλὰ καὶ τῶν παλαιοτέρων ἐποχῶν, τὶς ἰσότητες τῶν λόγων, οἱ ὁποῖες ἦταν γνωστὲς ἀπὸ τὴν ἀρχαιότητα, ἐφαρμόζοντάς τες καὶ σὲ προβλήματα τῆς καθημερινῆς ζωῆς, τὰ ὁποῖα ἐνδιέφεραν ἀνθρώπους χωρὶς θεωρητικὴ κατάρτιση, π.χ. τοὺς ἐμπόρους, τοὺς τεχνῖτες κ.ἄ. Σχετικὰ μὲ τὴν ἐξέλιξη τῆς μεθόδου τῶν τριῶν πρὲπει νὰ ποῦμε ὅτι ἀργότερα, σὲ βιβλίο Ἀριθμητικῆς τοῦ 16ου αἰ. χρησιμοποιεῖται ἡ ὀνομασία "ρέουλες", ἡ ὁποία δηλώνει ἐκτὸς ἀπὸ τὴ μέθοδο τῶν τριῶν, τὴ μέθοδο τῶν πέντε καὶ ἑπτά, δηλαδὴ τὴ σημερινὴ "σύνθετη μέθοδο".

Ἀριθμητικὲς πρόοδοι.

Ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας τοῦ χειρογράφου μας ἀσχολεῖται μὲ τὶς προόδους καί, συγκεκριμένα μὲ ὁρισμένες μορφὲς ἀριθμητικῶν προόδων γιὰ τὶς ὁποῖες προτείνει ὁμαδοποιημένες μεθόδους λύσεων. Ὁ ὅρος "ἀριθμητικὴ πρόοδος" ἀνάγεται στὸν Διόφαντο, τὸν ὁποῖο τὸν 13ο αἰ. ἀντέγραψε καὶ σχολίασε ὁ Μάξιμος Πλανούδης. Ὡστόσο, ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας τοῦ κώδικα 65, στὸ κεφ. 57, 58, δεν ὀνομάζει τὰ ἀθροίσματα τῆς μορφῆς 3+6+.....+30 ἢ 1+3+5+7+......+17, ἢ 3+6+.....+39, κ. τ. λ. "ἀθροίσματα ὅρων ἀριθμητικῆς προόδου", καὶ ἡ μέθοδος ποὺ ἀκολουθεῖ γιὰ νὰ τὰ ὑπολογίσει εἶναι διαφορετικὴ γιὰ κάθε ἕνα ἀπὸ αὐτά. Δηλαδὴ γιὰ τὸν ὑπολογισμό τους ἐκτελεῖ τὶς ἑξῆς πράξεις:
α) Γιὰ τὸ 3+6+....+30
30/3= 10, 10/2= 5, 10+1= 11, 11.5= 55, 55.3= 165
β) Γιὰ τὸ 1+3+5+7+......+17
17= 8+9, 9.9= 81
γ) Γιὰ τὸ 3+6+.....+39
39/3= 13, 13= 7+6, 13.7= 91, 91.3= 273
Μὲ τὰ ἀθροίσματα αὐτὰ εἶχε ἀσχοληθεῖ ὁ Alh-Karagī (Alh-Karhī) τὸν 6ον αἰ., καὶ ὁ Πέρσης Ἀβικέννας τὸν 11ον αἰ., ὁ ὁποῖος μάλιστα γιὰ τὸν ὑπολογισμό τους ἐφάρμοζε τὴν ἑξῆς μέθοδο:
1+2= 3= 2+(1/2).2
1+2+3= 6= 2.3
1+2+3+4= 10= 2.4+(1/2).4
1+2+3+4+5= 15= 3.5
1+2+3+4+5+6=21=3.6+(1/2).6
Ὁ Ἀνώνυμος μαθηματικὸς μπορεῖ νὰ γνώριζε τοὺς τύπους ποὺ χρησιμοποιοῦμε σήμερα, δηλαδὴ τὸν τύπο ποὺ δίνει τὸ ἄθροισμα τῶν ν πρώτων ὅρων ἀριθμητικῆς προόδου, καθὼς καὶ τὸν τύπο ποὺ δίνει τὸν νιοστὸ ὅρο της, δὲν πρότεινε ὅμως τὴν ἐφαρμογή τους, ἴσως διότι ἔτσι θὰ ὁδηγοῦσε τοὺς μαθητὲς σὲ περισσότερες πράξεις. Π.χ. γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τοῦ ἀθροίσματος 1+3+5+......+17, σήμερα ἐφαρμόζοντας τοὺς τύπους
αν= α1+(ν-1)ω καὶ Σν= [(α1+αν)/2].ν, ἔχουμε:
17= 1+(ν-1).2, δηλαδὴ 16= (ν-1).2, καὶ ν= 9
Τὸ ζητούμενο ἄθροισμα θὰ εἶναι: Σν= [(α1+αν)/2].ν, δηλαδὴ (1/2+17/2).9= (18/2).9= 81.
Συγκρίνοντας τὶς δύο μεθόδους διαπιστώνουμε τὴ συντόμευση ποὺ ἔχει κάνει ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας στὶς πράξεις, ἀφοῦ γιὰ τὸ ἴδιο πρόβλημα ἡ λύση σύμφωνα μὲ αὐτὸν εἶναι: 17= 8+9, 9.9= 81.

Προβλήματα πρωτοβαθμίων ἐξισώσεων.

Ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας στὰ κεφ. 61- 94 ἀσχολεῖται μὲ προβλήματα, τὰ ὁποῖα σήμερα ἐπιλύονται εὔκολα μὲ πρωτοβάθμιες ἐξισώσεις, ὁ ἴδιος ὅμως τὰ λύνει μὲ πρακτικὴν ἀριθμητική χρησιμοποιώντας συχνὰ τὴ μέθοδο τῆς "ψευδοῦς ὑπόθεσης". Καθὼς δὲ σὲ ἑπόμενα κεφάλαια (135- 140) διδάσκει μεθόδους ἐπίλυσης ἐξισώσεων μέχρι καὶ 4ου βαθμοῦ, θὰ μποροῦσε νὰ ἔλυνε τὰ προβλήματα τῶν κεφαλαίων 61- 94 χρησιμοποιώντας ἐξισώσεις, ἐφόσον μὲ τὴ χρήση τῶν ἐξισώσεων οἱ μαθητές του θὰ ἐκτελοῦσαν λιγότερες πράξεις.
Ἡ μέθοδος τῆς "ψευδοῦς ὑπόθεσης" εἶναι βέβαια μία πανάρχαια συνηθισμένη μέθοδος ἐπίλυσης τῶν προβλημάτων αὐτῶν. Σὰν παράδειγμα ἀναφέρω πρόβλημα, στὸ ὁποῖο ζητεῖται μία ποσότητα ὅταν: "Μία ποσότητα καὶ τὸ τέταρτο μέρος της δίνουν μαζὶ 15". Γιὰ νὰ βροῦμε τὴν ἄγνωστη ποσότητα, δεχόμαστε σὰν λύση τὸν ἀριθμὸ 4, ὁπότε 4+1=5 καὶ ὄχι 15. Ὅπως δὲ τὸ 15 εἶναι τριπλάσιο τοῦ 5 ἔτσι καὶ ἡ ζητουμένη ποσότητα θὰ εἶναι τὸ τριπλάσιο τοῦ 4, δηλαδὴ τὸ 12. Ἡ χρήση τῆς μεθόδου τῆς "ψευδοῦς ὑπόθεσης", ὁδηγεῖ σὲ ἐσφαλμένο συμπέρασμα, ὅμως ἡ ὀρθὴ λύση ἐπιτυγχάνεται μὲ τὴν ἐφαρμογὴ τῶν ἀναλογιῶν, καὶ στὸ συγκεκριμένο πρόβλημα μὲ τὴν ἐφαρμογὴ τῆς ἀναλογίας 15/5= χ/4, ἡ ὁποία δίνει γιὰ τὸ χ τὴν τιμὴ 12.
Ἡ μέθοδος τῆς "ψευδοῦς ὑπόθεσης" ἦταν ἰδιαίτερα προσφιλὴς στὸν Διόφαντο, ὁ ὁποῖος τὴ χρησιμοποιοῦσε γιὰ τὴν ἐπίλυση ἐξισώσεων α' βαθμοῦ, τῶν ὁποίων εὕρισκε τὸ ἀποτέλεσμα διὰ συγκρίσεως. Ἡ πανάρχαια αὐτὴ μέθοδος ἡ ὁποία διδασκόταν στὰ σχολεῖα τῆς Εὐρώπης καὶ τῆς Ἀμερικῆς ἕως καὶ τὸν 19ο αἰώνα, φαίνεται ὅτι ἦταν πολὺ διαδεδομένη στὸν Μεσαίωνα, ἀφοῦ ὁ Leonardo Fibonacci τὴν ἀνέφερε στις πραγματεῖες του καὶ τὴ χρησιμοποιοῦσε συχνὰ στὴν ἐπίλυση τῶν προβλημάτων. Ἐπισημαίνω, ὅτι τὰ περισσότερα ἀπὸ τὰ προβλήματα ποὺ ἐπιλύονται μὲ ἐξισώσεις πρώτου βαθμοῦ, διατυπώνονταν ὑπὸ μορφὴν αἰνιγμάτων. Κατὰ τὸν Smith, αὐτὰ εἶχαν προέλευση ἑλληνικὴ καί, μάλιστα πολλὰ ἀπὸ αὐτὰ ἀποδίδονται στὸν Μητρόδωρο. Ὁ Μητρόδωρος θεωρεῖται ὡς ὁ κύριος ἐμπνευστὴς τῶν προβλημάτων, τὰ ὁποῖα ἀνήκουν στὰ ψυχαγωγικὰ μαθηματικά. Αὐτοῦ τοῦ τύπου τὰ προβλήματα δέχθηκαν ὅμως ἐπιδράσεις καὶ ἀπὸ τὴν Ἀνατολή. Ἀργότερα ἀσχολήθηκαν μὲ αὐτὰ καὶ ὁ Rabi ben Ezra (1140), ὁ Jordanus Nemorarius (1225) κ. ἄ.
Ἕνα ἄλλο εἶδος προβλημάτων ποὺ στὸ χειρόγραφο λύνονται μὲ πρακτικὴ ἀριθμητικὴ ἐνῶ θὰ εἶχαν πιὸ σύντομες λύσεις μὲ τὴ χρήση ἐξισώσεων εἶναι τὰ ἀναφερόμενα σὲ κινήσεις πρὸς συνάντηση ἢ ἀπομάκρυνση πλοίων ἢ ἀνθρώπων. Ὁ συγγραφέας τοῦ χειρογράφου, στὸ κεφ. 71, γράφει πὼς δὲν τὰ θεωρεῖ πραγματικὰ προβλήματα, ἀλλὰ μόνον ἕνα εἶδος ἀσκήσεων γιὰ τοὺς μαθητές, ὥστε νὰ μποροῦν νὰ ἀντιμετωπίσουν τὰ μετέπειτα ζητήματα.
Προβλήματα σχετικὰ μὲ κινήσεις πλοίων ἢ ἀνθρώπων ὑπάρχουν στὸ Liber Abbaci τοῦ Φιμπονάτσι. Τὰ συγκεκριμένα προβλήματα φαίνεται πὼς ἔχουν Κινέζικες ρίζες. Ὁ Smith ἰσχυρίζεται ὅτι πρωτοεμφανίσθηκαν στὴ Δύση καὶ εὑρίσκονται στὸ ἔργο Summa τοῦ Luca Pacioli, ποὺ γράφηκε τὸ 1494 μ.Χ. Ἐὰν ληφθεῖ ὑπόψιν, ὅτι καὶ ἡ Ἀριθμητικὴ τοῦ Treviso, ἡ ὁποία γράφηκε τὸ 1478, περιέχει καὶ αὐτοῦ τοῦ εἴδους τὰ προβλήματα τίθεται ἕνα σοβαρὸ ἐρώτημα γιὰ τὴ σχέση αὐτῶν τῶν τριῶν ἔργων ὣς πρὸς τὸ περιεχόμενό τους, ἀφοῦ ἡ ἀνώνυμη Ἀριθμητικὴ τοῦ Treviso θεωρεῖται ὡς ἡ πρώτη ἐμπορικὴ Ἀριθμητικὴ ἐκείνης τῆς ἐποχῆς, καὶ ἡ Summa τοῦ Pacioli, διδασκόταν μέχρι καὶ τὸν 16ο αἰ. καὶ θεωρεῖτο ὅπως ἔχω ἤδη ἀναφέρει ὡς ἡ πρώτη Ἐγκυκλοπαίδεια Μαθηματικῶν.

Ρίζες πραγματικῶν ἀριθμῶν.

Τὸ κεφάλαιο τῶν ριζῶν ἀνήκει σὲ ὕλη καθαρὰ ἀλγεβρική, καὶ οἱ λύσεις δίδονται καὶ ἐδῶ μὲ τὴ γνωστὴ μορφὴ τῶν ὁδηγιῶν γιὰ τὴν ἐκτέλεση πράξεων. Διακρίνονται ὅμως σαφῶς ἀπὸ τὰ προηγούμενα κεφάλαια λόγω τῆς θεματολογίας του καὶ τῆς κατάταξής του ἀπὸ τὸν συγγραφέα στὴ Β' βίβλο. Στὸ προΐμιο τῆς Β βίβλου (κεφ. 117) ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας ἀναφέρει, ὅτι ὑπάρχουν προβλήματα, τὰ ὁποῖα δὲν μποροῦν νὰ ἀντιμετωπιστοῦν μὲ τὶς μεθόδους τῆς Α' βίβλου. Γράφει ἐπίσης, ὅτι προτίθεται νὰ δώσει "ἐνηλλαγμένες καὶ ἀνόμοιες μεταχειρίσεις", μὲ τὶς ὁποῖες ἀντιμετωπίζονται τὰ ζητήματα ποὺ ἀκολουθοῦν.
Ἡ ὕλη γενικώτερα τῆς ἄλγεβρας στὸν κώδικα 65 περιλαμβάνει ἐκτὸς ἀπὸ τὶς ρίζες τῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν, τὶς ἐξισώσεις μέχρι καὶ τετάρτου βαθμοῦ, καὶ τὰ συστήματα ἐξισώσεων μέχρι καὶ δευτέρου βαθμοῦ.
Κατὰ τὴν ἐπικρατέστερη ἄποψη, ὅλες οἱ γνώσεις ἄλγέβρας τῶν Εὐρωπαίων κατὰ τὸν 15ο αἰ. προέρχονταν ἀπὸ τὴν Ἄλγεβρα τοῦ alh- Khowârizmî (11ος αἰ.), καὶ ἀπὸ τὸ Liber Abbaci τοῦ Φιμπονάτσι (13ος αἰ. ).
Ὁ alh-Khowârizmî ἔγραψε δύο βιβλία ἀριθμητικῆς καὶ ἄλγεβρας, τῶν ὁποίων ἡ λατινικὴ μετάφραση περιέχει ρίζες, ἐξισώσεις κ.λπ. Ὅμως ἡ Ἄλγεβρα τοῦ alh-Khowârizmî δίνει τὴν ἐντύπωση, ὅτι ὁ συγγραφέας της ἐπηρρεάστηκε ἀπὸ πηγὲς ἀρχαιότερες τῶν ἑλληνικῶν καὶ τῶν ἰνδικῶν.
Στὴν ἑνότητα τῶν ριζῶν συμπεριλαμβάνονται καὶ τὰ "κανόνια τῶν πολλαπλασιασμῶν", δηλαδὴ οἱ πίνακες πολλαπλασιασμοῦ τῶν φυσικῶν ἀριθμῶν ἀπὸ 1 ἕως 1000 (κεφ. 127), καθὼς καὶ οἱ ἀντίστοιχοι πίνακες τῶν ριζῶν τους. Πίνακες πολλαπλασιασμοῦ εἶχε περιλάβει στὸ ἔργο του τὸ 1341 μ.Χ. καὶ ὁ Ραβδᾶς. Στὸ χειρόγραφό μας ὅμως, ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας δίνει πίνακες ὑπολογισμοῦ ριζῶν γιὰ ὁρισμένους ἀριθμοὺς ἀπὸ τὸ 1 ἕως τὸ 1000 (κεφ. 239). Συγκεκριμένα δίνει τὰ ἀποτελέσματα τῶν ριζῶν μερικῶν μόνο ἀριθμῶν, ἀλλὰ γιὰ τοὺς περισσότερους ἀριθμοὺς, στὴν στήλη τοῦ ἐξαγομένου τῆς ρίζας τους, ἀφήνει κενό. Σὲ γενικὲς γραμμὲς οἱ Βυζαντινοὶ δὲν χρησιμοποιοῦσαν τέτοιους πίνακες (οὔτε κἂν τοὺς πίνακες ὑπολογισμοῦ τετραγώνων). Ὡστόσο κάποιοι δάσκαλοι, ὅπως ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας τοῦ κώδικα 65 τοὺς συμπεριελάμβαναν στὴν ὕλη τους, μᾶλλον γιὰ λόγους καθαρὰ παιδαγωγικούς, ἀφοῦ ἔτσι ἔδιναν στοὺς μαθητές τους τὴ δυνατότητα νὰ βρίσκουν ἄμεσα τὶς ἀκέραιες ρίζες κάποιων φυσικῶν ἀριθμῶν.
Τὸ σημεῖο ἀφετηρίας λοιπὸν τοῦ Ἀνώνυμου συγγραφέα γιὰ τὴν ἄλγεβρα εἶναι τὸ κεφάλαιο ὑπολογισμοῦ ριζῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν. Μὲ τὶς ρίζες εἶχαν ἀσχοληθεῖ καὶ ἄλλοι Βυζαντινοὶ λόγιοι ὅπως ὁ Ἰσαὰκ Ἀργυρὸς (1310-1371) καὶ ὁ Μάξιμος Πλανούδης (1300 περίπου).
Πρέπει νὰ τονίσουμε, ὅτι στὸ χειρόγραφο δὲν ὑπάρχουν μαθηματικοὶ τύποι ἀλλ' ὁδηγίες γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τῆς ρίζας. Μολονότι ὁ Διόφαντος εἶχε εἰσαγάγει ἤδη ἀπὸ τὸ 275 μ.Χ. τὸν δικό του συμβολισμό, δὲν γίνεται χρήση του, ἴσως διότι ἡ περιγραφὴ καὶ ὄχι ἡ ἀναγραφὴ τῶν τύπων ἐκείνη τὴν ἐποχὴ γινόταν εὐκολότερα κατανοητή.
Σύμφωνα μὲ τὶς μεθόδους ὑπολογισμοῦ τῆς τετραγωνικῆς καὶ τῆς κυβικῆς ρίζας τοῦ χειρογράφου, βρίσκεται ὅτι ἡ ρίζα τοῦ 30 εἶναι ἴση μὲ 5 5/11 (κεφ. 123).
Σύμφωνα μὲ τὸν Ἀνώνυμο συγγραφέα, γιὰ τὸν ὑπολογισμὸ τῆς τετραγωνικῆς ρίζας τοῦ 30 πρέπει νὰ γίνουν οἱ ἑξῆς πράξεις:
5.5= 25 καὶ 6.6= 36. Ἐπειδὴ τὸ μὲν 25 εἶναι μικρότερο κατὰ 5 μονάδες ἀπὸ τὸ 30, καὶ τὸ 36 εἶναι μεγαλύτερο κατὰ 6 μονάδες ἀπὸ τὸ 30, τότε 5+6= 11, ὁπότε ὁ ἀριθμὸς 5 5/11 εἶναι ἡ ρίζα τοῦ 30. Ἐπαληθεύει δὲ τὸν ἰσχυρισμὸ του, πολλαπλασιάζοντας τὸ 5 5/11 μὲ τὸν ἑαυτὸν του, καὶ βρίσκοντας 29 7/9, τὸ ὁποῖο θεωρεῖ καλὴ προσέγγιση τοῦ 30.
Στὴ συνέχεια ὁ συγγραφέας ἀναφέρει ὅτι ὑπάρχει μέθοδος γιὰ ἀκόμη καλύτερες προσεγγίσεις, καὶ ἐξηγεῖ τὶ ἀκριβῶς ἐννοεῖ, ὑπολογίζοντας ἐκ νέου τὴν ρίζα τοῦ 30. Δηλαδὴ μὲ τὸν τρόπο ποὺ χρησιμοποίησε καὶ προηγουμένως, βρῆκε πὼς ἡ ρίζα τοῦ 30 εἶναι 5 5/11 ἢ 5 10/22. Προσθέτει μία μονάδα στὸν ἀριθμητὴ τοῦ 10/22 καὶ ἔχει 5 11/22. Κατόπιν προσθέτει καὶ μία μονάδα στὸν παρανομαστὴ καὶ ἔχει 5 11/23. Πολλαπλασιάζει τὸ 5 11/23 μὲ τὸν ἑαυτὸν του καὶ ἔχει 30 6/529. Ἐπειδὴ δὲ ὑπερέβη τὸ 30, τὸ 5 5/11 τὸ μετατρέπει σὲ 5 20/44, πολλαπλασιάζοντας ἀριθμητὴ καὶ παρανομαστὴ μὲ τὸ 4. Κατόπιν προσθέτει μία μονάδα στὸν ἀριθμητὴ καὶ γράφει πὼς τελικὰ ἡ ρίζα εἶναι 5 21/44, γιατὶ τὸ 5 21/44 πολλαπλασιαζόμενο μὲ τὸν ἑαυτὸν του μᾶς δίνει 30 1/1936 ποὺ εἶναι μία καλύτερη προσέγγιση τοῦ 30, ἀπ' ὅτι ἦταν τὸ 30 6/529.
Σὰν γενικὴ μεθοδολογία ἀναφέρει πὼς ὅταν ἡ ρίζα εἶναι ἐλλιπὴς πρέπει νὰ προσθέτεις μία μονάδα στὸν ἀριθμητή, ἢ νὰ ἀφαιρεῖς μία μονάδα ἀπὸ τὸν παρανομαστὴ, προκειμένου νὰ ἔχεις καλύτερη προσέγγιση. Ὅταν ἡ ρίζα ὅμως εἶναι ὑπερθετική, κάνεις ἀκριβῶς τὸ ἀντίθετο, δηλαδὴ ἀφαιρεῖς μία μονάδα ἀπὸ τὸν ἀριθμητὴ ἢ προσθέτεις μία μονάδα στὸν παρανομαστή.
Σχετικὰ μὲ αὐτὲς τὶς μεθόδους ὑπολογισμοῦ διαφόρων ριζῶν, μέχρι πρὶν ἀπὸ λίγα χρόνια χρησιμοποιούσαμε μία γενικὴ μεθοδολογία εὕρεσης τετραγωνικῆς ρίζας, ποὺ ἔμοιαζε μὲ τὴν πράξη τῆς διαίρεσης, καὶ βάσει τῆς ὁποίας οἱ μαθητὲς ὑπελόγιζαν ὁποιαδήποτε τετραγωνικὴ ρίζα μὲ προσέγγιση ὅσο ἐπιθυμούσαμε ἱκανοποιητική.
Ἡ προτεινόμενη ἀπὸ τὸν Ἀνώνυμο συγγραφέα μεθοδολογία φαίνεται ἴδια μὲ ἐκείνη τοῦ Omar Khayyam (1048-1131).
Ἂν ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας ὑπελόγιζε τὴν ρίζα τοῦ 30 μὲ τὴ μέθοδο, τὴν ὁποία χρησιμοποιοῦσε ὁ Πλανούδης, καὶ ἡ ὁποία βασιζόταν σὲ τύπο τοῦ Ἥρωνα τοῦ Ἀλεξανδρέα, θὰ εὕρισκε 5+5/10 καὶ ὄχι 5+5/11.
Ἂν ὁ ὑπολογισμὸς τῆς ρίζας τοῦ 30 γινόταν ἀπὸ τὸν Ἀνώνυμο μὲ τὴ μέθοδο τοῦ Ραβδᾶ, θὰ εὕρισκε 5 21/44, καὶ ὄχι 5+5/11.
Σημειωτέον ὅτι, ὅταν στὸ χειρόγραφό μας δίνεται προσεγγιστικῶς ἡ ρίζα τοῦ 30, ὡς δεύτερη προσέγγιση τῆς √30 βρίσκεται ἡ τιμὴ 5 21/44 (κεφ. 123), ἡ ὁποία συμφωνεῖ μὲ ἐκείνη τοῦ Ραβδᾶ, μολονότι οἱ τιμές τους γιὰ τὴν πρώτη προσέγγιση δὲν συμφωνοῦν: Στὸν κώδικα 65 βρίσκεται γιὰ τὴν πρώτη προσσέγγιση ἡ τιμὴ 5 5/11 καὶ ὁ Ραβδᾶς, ὅπως καὶ ὁ Πλανούδης, χρησιμοποιώντας τὸν τύπο τοῦ Ἥρωνα θὰ εὕρισκε 5 5/10.
Ὁ Βαρλαὰμ ὁ Καλαβρὸς γνώριζε τοὺς τύπους, τοὺς ὁποίους ἀναφέραμε. Σύμφωνα μὲ αὐτόν, ἡ διαδικασία τῶν προσεγγίσεων μποροῦσε νὰ συνεχιστεῖ ἐπ' ἄπειρον, ἀλλὰ ὅπως ἔχουμε ἤδη ἀναφέρει, καὶ στὸ χειρόγραφό μας περιγράφεται τρόπος, μὲ τὸν ὁποῖο ἐπιτυγχάνουμε ἄπειρες διαδοχικὲς προσεγγίσεις.
Αὐτὲς οἱ μέθοδοι ὑπολογισμοῦ τετραγωνικῆς ρίζας, φαίνεται ὅτι ἐγκαταλήφθηκαν μὲ τὴν πάροδο τοῦ χρόνου, καὶ τελικὰ τὸ ἔτος 1494 ὁ Luca Pacioli δίνει κάποια μέθοδο, ἡ ὁποία μοιάζει μὲ αὐτὴν ποὺ ἐδιδάσκετο μέχρι πρὶν λίγα χρόνια στὰ σχολεῖα τῆς Β' θμιας ἐκπαίδευσης. Ἀργότερα, τὸ 1546 ὁ Cataneo πλησιάζει περισσότερο αὐτὴν τὴ μέθοδο, ἡ ὁποία θυμίζει τὴν πράξη τῆς διαίρεσης, καὶ παρουσίαζε γιὰ τοὺς μαθητὲς ἐξαιρετικὴ δυσκολία στὴν κατανόηση καὶ ἀπομνημόνευση.
Σχετικὰ μὲ τὴ ρίζα 3ης τάξης τὰ πράγματα ἦταν ἐντελῶς διαφορετικά. Δὲν ὑπῆρχε εὔκολη μέθοδος ὑπολογισμοῦ της καὶ ἡ διαδικασία εὕρεσής της θεωρεῖτο ἰδιαίτερα ἐπίπονη. Τὸ 1559 μ.Χ. ὁ Buteo ἐπιτυγχάνει νὰ ὑπολογίζει μόνο τὸ πρῶτο ψηφίο μιᾶς κυβικῆς ρίζας. Ἕναν αἰώνα ἀργότερα, ὁ Lagny πίστευε ὅτι χρειάζεται πολὺς χρόνος γιὰ τὴν εὕρεση τῆς κυβικῆς ρίζας κάποιου μεγάλου ἀριθμοῦ. Παρ' ὅλα αὐτά, οἱ μαθηματικοὶ εἶχαν στὴ διάθεσή τους τοὺς γενικοὺς τύπους ὑπολογισμοῦ ριζῶν ν τάξεως. Στὸ χειρόγραφο (κεφ. 125) ἀναφέρεται ὅτι δὲν ὑπάρχει εὔκολη μέθοδος ὑπολογισμοῦ κυβικῆς ρίζας κάποιου ἀριθμοῦ, ἐντούτοις πιὸ κάτω στὸ ἴδιο κεφάλαιο οἱ ὑπολογισμοί τῶν ριζῶν τρίτης τάξεως γίνονται ἀπὸ τὸν συγγραφέα μὲ τὴν ἴδια ἄνεση, μὲ τὴν ὁποία ἔχουν ὑπολογισθεῖ καὶ οἱ τετραγωνικὲς ρίζες. Ἡ δὲ μεθοδολογία ποὺ ἀκολουθεῖται εἶναι τῆς ἰδίας μορφῆς μὲ αὐτὴ τῶν τετραγωνικῶν ριζῶν.
Βέβαια μὲ τὶς ρίζες τρίτης τάξεως ἀσχολήθηκαν καὶ ἄλλοι ἐπιστήμονες, ὅπως ὁ Mahävirä (9ος αἰ.) καὶ ὁ Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Μάλιστα ὁ Omar Khayyam, ὅπως ἔχουμε ἤδη ἀναφέρει, ἔχει δώσει γενικὸ τύπο εὕρεσης ρίζας τάξεως ν, σύμφωνα μὲ τὸν ὁποῖον θὰ ἔχουμε ἀκριβῶς τὸ ἴδιο ἀποτέλεσμα μὲ αὐτὸ ποὺ δίνει ἡ μέθοδος τοῦ Φιμπονάτσι καὶ τοῦ Ἥρωνα.

Ἐπίλογος

Στὴν ἐργασία αὐτὴ ἔγινε ἀναφορὰ σὲ λίγα συγκεκριμένα θέματα ἀριθμητικῆς καὶ ἄλγεβρας τὰ ὁποῖα διαπραγματεύεται ὁ Ἀνώνυμος συγγραφέας τοῦ κώδικα 65. Οἱ μέθοδοί του σχολιάσθηκαν καὶ συγκρίθηκαν μὲ ἄλλες μεθόδους ὄχι μόνο τῆς ἐποχῆς του, ἀλλὰ καὶ προγενεστέρων ἐποχῶν. Ἐξετάστηκε ἀκόμα ἡ ἐξέλιξη αὐτῶν τῶν μεθόδων ἕως τὴν σημερινὴ ἐποχή. Σὲ ὁρισμένες περιπτώσεις διαπιστώθηκε ὅτι ἀγνοοῦμε παντελῶς τοὺς προτεινόμενους ἀπὸ τὸν συγγραφέα τρόπους ἐπίλυσης ὅπως στὴν δοκιμὴ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ μὲ τὴ μέθοδο τῶν ὑπολοίπων τῶν διαιρέσεων μὲ τὸν ἀριθμὸ 7. Σὲ ἄλλες περιπτώσεις ὅπως στὸν ὑπολογισμὸ ἀθροισμάτων διαδοχικῶν ὅρων ἀριθμητικῆς προόδου, παρατηροῦμε ὅτι ἡ ὑπάρχουσα μέθοδος στὸ χειρόγραφο μᾶς ὁδηγεῖ σὲ ἐκτέλεση λιγοτέρων πράξεων ἀπὸ αὐτὲς ποὺ κάνουμε ἐφαρμόζοντας τοὺς σημερινοὺς τύπους ὑπολογισμοῦ τοῦ ν-οστοῦ ὅρου καὶ τοῦ ἀθροίσματος τῶν ν πρώτων ὅρων ἀριθμητικῆς προόδου.
Τέλος ἐντοπίσθηκαν κοινὰ σημεῖα τοῦ κώδικα 65 (φ. 11r-126r), τῆς Ἀνώνυμης Ἀριθμητικῆς τοῦ Treviso, καὶ τῆς Summa τοῦ Luca Pacioli, καὶ εὑρέθησαν ἔννοιες ποὺ φαίνεται νὰ προϋπῆρχαν στὸ Βυζαντινὸ χειρόγραφό μας, ἐνῶ θεωροῦνται ἀπὸ τοὺς ἐρευνητὲς ὡς μεταγενέστερες. Ἂν δὲ συνεκτιμήσουμε καὶ τὸ γεγονός, ὅτι τὸ περιεχόμενο αὐτῶν τῶν τριῶν ἔργων παρουσιάζει πολλὲς ὁμοιότητες καὶ ὡς πρὸς τὴ διάταξή του, τότε φαίνεται πὼς ὁ Βιενναῖος Ἑλληνικὸς φιλ. κώδικας 65 τοῦ 15ου αἰ. (φ. 11r- 126r) δὲν εἶναι μόνο ἕνα πρόγραμμα διδασκαλίας Μαθηματικῶν τοῦ 15ου αἰ. ποὺ ἀπευθύνεται σὲ μαθητὲς ἀλλὰ καὶ σὲ ἐμπόρους καὶ τεχνίτες διαφόρων εἰδικοτήτων στὸ Βυζάντιο, ὅπως εἴχα θεωρήσει κατὰ τὴ διάρκεια τῆς ἐρευνητικῆς μου μελέτης. Εἶναι κάτι περισσότερο ἀπὸ αὐτό. Εἶναι μᾶλλον ἡ πρώτη Βυζαντινὴ Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια, ἡ ὁποία φαίνεται πὼς γράφηκε πρὶν ἀπὸ τὴ Summa τοῦ Luca Pacioli. Ἔτσι λοιπὸν διεκδικεῖ τὸν τίτλο τῆς πρώτης Ἐγκυκλοπαίδειας Μαθηματικῶν.


Τὸ βιβλίο μου μὲ τίτλο: "Μελέτη τοῦ Μαθηματικοῦ περιεχομένου τοῦ Βιενναίου Ἑλληνικοῦ φιλ. κώδικα 65 τοῦ 15ου αἰ. (φ. 11r-126r), μεταγραφή, εἰσαγωγὴ καὶ μαθηματικὰ σχόλια", ἐκδόσεις Πανεπιστημίου Ἀθηνῶν (2003), εὑρίσκεται στὸ Ἐθνικὸ Κέντρο Τεκμηρίωσης (ΕΚΤ), ἀλλὰ καὶ στὶς ἑξῆς βιβλιοθῆκες:
1) Ἐθνικὴ Βιβλιοθήκη τῆς Ἑλλάδος (Ἀρ. ΒΕ: 303703).
2) Δημόσια Ἱστορικὴ Βιβλιοθήκη Δημητσάνας (Ἀ.Τ.: Αα172ψ)
3) Γεννάδειος Βιβλιοθήκη τῆς Ἀμερικανικῆς Σχολῆς Κλασσικῶν Σπουδῶν τῆς Ἀθήνας (Β. Ν.: 000217691).
4) Βιβλιοθήκη τοῦ Πανεπιστημίου Harvard (H. N.: 010116112).
5) Βιβλιοθήκη τοῦ Κέντρου Βυζαντινῶν Ἐρευνῶν Dumbarton Oaks στὴν Οὐάσινγκτον (QA14.B9 C43 2003).
6) Ἐθνικὴ Βιβλιοθήκη τῆς Αὐστρίας (Verbund ID- Nr.: AC04777259)
Βιβλιογραφία

Adel Anbouba, L’ Argèbre Al-Badī d’ Al-Karagī, Pub. de l’ Univ. Libanaise, Beyrouth 1964.
Avicenne, Le livre de Science, trad. Moh. Achena et Th. Massé, Les belles lettres, 1986.
Barlaam von Seminara. Logistiké, ed. P. Carelos, Academy of Athens, 1996. Boyer – Uta. C. Merzbach, History of Mathematics, ed. A. Pnevmatikou, Athens, 1997.
Ν. Γεωργακοπούλου, Ἡ παιδεία στὴν Ἀρκαδία ἐπὶ τουρκοκρατίας, ἐκδ. Φύλλα, Τρίπολη 2000.
C. N. Constantinides, Higher Education in Byzantium in the thirteenth and early fourteenth centuries (1204- 1310), Cyprus Research Center, Nicosia Cyprus 1982.
Διοφάντου, Ἀριθμητικά, ἀρχαῖο κείμενο καὶ μετάφραση ἀπὸ τὸν E. Σταμάτη, OEΔB, Ἀθῆναι, 1963.
A. G. Drachmann,– M. S. Mahoney, Hero of Alexandria, DSB, τόμ. VΙ, 310-315. Εὐκλείδη, Γεωμετρία, ἐκδ. E. Σταμάτη, OEΔB, Ἀθῆναι, 1958, τόμ. II.
Euclides Elementa, ed. 1. L.Heiberg, Teubner, Lipsiae, 1884, τόμ. II.
Euclid: The thirteen books of the Elements, translated with introduction by Th. M. Gliozzi., "Cardano, Girolamo", DSB, τόμ. ΙΙΙ.
Heath, “A History of Greek Mathematics”, τόμ. II, Dover, 1956.
Th. Heath, “A History of Greek Mathematics”, Oxford UΡ, τόμ. Ι (1921).
Η. Ηunger - K.Vogel, Ein Byzantinisches Rechenbuch des 15 Jahrhunderts. 100 Aufgaben aus dem Codex Vindobonensis Phil. Gr. 65, H. Bohlaus, Koln Komm. d. Österr, Acad. d. Wissenschaften in Wien, 1963.
H. Ηunger, Die hochspradilihe Literatur der Byzantiner (Ἑλλ. μετάφρ.: Βυζαντινὴ Λογοτεχνία), τόμ. I-III, εκδ. MIET, Ἀθῆναι, 1994, τόμ III.
S. A. Jayawardene, "Luka Pacioli", DSB (Dictionary of Scientific Biography, ed. Ch. Coulston Gillispie, Ch. Scribner’s sons, τόμ. Ι-ΧVI, N. York 1970-1980.), τόμ. X.
G. Loria, Ἱστορία τῶν Μαθηματικῶν, ἐκδ. Παπαζήση, Ἀθήνα 1971, τόμ. II.
G. Pachymeris de Michaele et Andronico Palaeologis bonnae impensis, ed. Weberi 1835 (2).
Gay Robins and Sharles Shute, The Rhind Mathematical Papyrus, The British Museum Publications, London 1987.
P. L. Rose, “The Italian Renaissance of Mathematics”, Librairie Droz, Geneva 1975.
D.E.Smith, History of Mathematics, τόμ. I- II, Dover, New York, 1958.
B.L. Van der Waerden, “Science awakening”, μετάφρ. ἐκδ. Πανεπ. Κρήτης, Ἠράκλειο 2000.
J. H. Vincent, À la Géomètrie Pratique des Grecs. Extrait des notices des Manuscrits, τόμ. XIX pt. 2, Imr. Impériale, Paris 1858.
“Ἱστορία τῆς Βυζαντινῆς Αὐτοκρατορίας, (τόμ ΙΙ, κεφ. ΧΧVIII: Κ. Vogel, Ἡ Βυζαντινὴ Ἐπιστήμη). Ἑλλ. μετάφρ. τοῦ: History of the Byzantine Empire, (vol. II, ch. XXVIII: K. Vogel, “The Byzantine Science”), Univ. of Wisconsin Press, Cambridge, 1958.
K. Vogel ( μετάφρ. K. N. Σιδηρόπουλος), “Ἐγγράμματος λογισμὸς καὶ Ἰνδικὰ ψηφία στο Βυζάντιο”, NΕΥΣΙΣ 5, (Φθινόπωρο- Χειμώνας 1996) 80. Τὸ πρωτότυπο ἄρθρο εὑρίσκεται στό: Des XI. Internationalen Byzantinistenkongresses 1958, appl. Fr. Dölger and H. G. Beck, Munich, C. H. Beck’sche Verlagsbuchhandlung 1960.
K. Vogel, "Leonardo Fibonacci", DSB, τόμ. IV, 604-613.
V. d. Waerden, Géomètrie and Algebra in Ancient Civilizations.
Μαρία Δ. Χάλκου, Ἡ μαθηματικὴ παιδεία καί ἡ ὁρολογία της στό Βυζάντιο σύμφωνα μὲ τόν Ἑλληνικὸ Βιενναῖο φιλ. Κώδικα 65, “Ἑῷα καὶ Ἑσπέρια”, τόμ. V, Ἀθῆναι 2001-2003.
Μαρία Δ. Χάλκου, Προβλήματα πολλαπλασιασμοῦ, διαίρεσης, ἀναλογιῶν καὶ προόδων, σύμφωνα με τον Βιενναῖο Ἑλληνικὸ φιλ. Κώδικα 65, Β' Συνάντηση Βυζαντινολόγων Ἑλλάδος καὶ Κύπρου, Ἀθήνα, 1999.
Περὶ ριζῶν, Γ’ Συνάντηση Βυζαντινολόγων Ἑλλάδος καὶ Κύπρου, Ρέθυμνο, 2000.
Μαρία Δ. Χάλκου, Τὰ Μαθηματικὰ στὸ Βυζάντιο, Λογιστική, ἐκδ. Ἐπικαιρότητα, Ἀθήνα 2006.
Μαρία Δ. Χάλκου, Μελέτη τοῦ Μαθηματικοῦ περιεχομένου τοῦ Βιενναίου Ἑλληνικοῦ φιλολογικοῦ κώδικα 65 τοῦ 15ου αἰ, Εἰσαγωγή, Μεταγραφή, Μαθηματικὰ Σχόλια, Πανεπιστήμιο Ἀθηνῶν, Ἀθήνα 2003.
A. P. Youschkevitch, B. A. Rosenfeld, Omar Khayyam, DSB, τόμ. VII.








[1] Τὸ μέρος αὐτὸ τοῦ χειρογράφου ὀνομάσθηκε ἀπὸ ἐμένα «Ἑλληνικὴ Βιενναία Μαθηματικὴ Πραγματεία» (στὰ Ἀγγλικὰ: Tractatus Mathematicus Vindobonensis Graecus).