Μέθοδος ὑπολογισμοῦ ἐμβαδῶν κανονικῶν πολυγώνων

Ἱστορικὴ πρακτικὴ μέθοδος ὑπολογισμοῦ ἐμβαδῶν κανονικῶν πολυγώνων, ὅταν δίνεται ἡ πλευρά τους.
1) Ἡ διαδικασία ξεκινᾶ μὲ τὸν ὑπολογισμὸ ἐμβαδοῦ κύκλου περιμέτρου 22 σπιθαμῶν τὸ ὁποῖο εὑρίσκεται ἴσο μὲ 38 1/2.
Γνωρίζουμε ὅτι τὸ ἐμβαδὸν κύκλου ἀκτίνας ρ δίνεται ἀπὸ τὴν σχέση
Ε= πρ². Ἐπειδὴ ἡ περίμετρος Π εἶναι ἴση μὲ 22 καὶ δίνεται ἀπὸ τὴν σχέση Π= 2πρ, ὑπολογίζουμε τὴν ἀκτίνα ρ= 11/π, ὁπότε ἀντικαθιστώντας στὸν τύπο τοῦ ἐμβαδοῦ ἔχουμε:
Ε= π(121/π²)= 121/π= 38 1/2 , ἀπὸ ὅπου προκύπτει π= 3 1/7. Δηλαδὴ ἔχουμε μία προσεγγιστικὴ τιμὴ γιὰ τὸ π, τὴν ὁποία κάποιοι συγγραφεῖς τῆς ἀρχαιότητας μεταξὺ τῶν ὁποίων καὶ ὁ Ἤρων ὁ Ἀλεξανδρεὺς χρησιμοποιοῦσαν κατὰ τοὺς ὑπολογισμοὺς τους.

2) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 40-γώνου ὅταν δίδεται ἡ πλευρὰ του ἴση μὲ 1/2 μιᾶς σπιθαμῆς.
Στὸ συγκεκριμένο ζήτημα, παρατηροῦμε πὼς ἡ περίμετρος εἶναι ἴση μὲ 20 σπιθαμές, καὶ τὴν πολλαπλασιάζουμε μὲ τὸν ἑαυτόν της βρίσκοντας 400. Κατόπιν διαιροῦμε τὸ 400 μὲ τὸ 12 5/8, καὶ βρίσκουμε πὼς τὸ ἐμβαδὸν τοῦ 40-γώνου εἶναι ἴσο μὲ 31 7/10.
3) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 30-γώνου πλευρᾶς ἴσης μὲ 2/3.
Ἡ περίμετρος εἶναι ἴση μὲ 20 σπιθαμές, πολλαπλασιάζουμε τὸ 20 μὲ τὸν ἑαυτόν του, καὶ τὸ ἀποτέλεσμα τὸ ὁποῖο εἶναι 400 τὸ διαιροῦμε μὲ τὸ 12 2/3 βρίσκοντας γιὰ τὸ ἐμβαδὸν τὴ τιμὴ 31 11/19 τετραγωνικὲς σπιθαμές.
4) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 20-γώνου πλευρᾶς ἴσης μὲ 1 σπιθαμὴ.
Στὸ συγκεκριμένο πρόβλημα διαιροῦμε τὸ 400 μὲ τὸ 12 11/16 βρίσκοντας 31 1/2.
5) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 18-γώνου πλευρᾶς 1 1/9 τῆς σπιθαμῆς.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 3/4, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 31 1/3.
6) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 16-γώνου πλευρᾶς 1 1/4 τῆς σπιθαμῆς.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 5/6, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 31 1/6.
7) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 14-γώνου πλευρᾶς 1 3/7 τῆς σπιθαμῆς.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 12 11/12, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 30 29/30.
8) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 12-γώνου πλευρᾶς 1 2/3 τῆς σπιθαμῆς.
Διαιροῦμε τὸ 400 μὲ τὸ 13 καὶ βρίσκουμε 30 10/13.
9) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 10-γώνου πλευρᾶς 2 σπιθαμῶν.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 13 1/9, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 30 1/2.
10)Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 8-γώνου πλευρᾶς 2 1/2 σπιθαμῶν.
Τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 13 8/31, ὁπότε ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 30 1/6.
11)Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ ἑξαγώνου πλευρᾶς 3 1/3 σπιθαμῶν.
Στὰ χειρόγραφα τὸ 400 διαιρεῖται μὲ τὸ 13 5/7, καὶ ἔτσι ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ εἶναι 29 1/6.
Σήμερα, ἐφ' ὅσον τὸ κανονικὸ 6-γωνο πλευρᾶς 3 1/3 ἀποτελεῖται ἀπὸ 6 ἴσα ἰσόπλευρα τρίγωνα, θὰ ὑπολογίζαμε τὸ ἐμβαδὸν χρησιμοποιώντας τὴν σχέση:
Ε= 6.[(3 1/3)²√3]/4= (3/2)(100/9)√3= 28,87 κατὰ προσέγγιση. Αὐτὴ ἡ τιμή, ὅπως διαπιστώνουμε, εἶναι μικρότερη ἀπὸ τὴν τιμὴ 29 1/6, ἡ ὁποία προκύπτει μὲ τὴν Ἱστορικὴ μέθοδο.
12)Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ πενταγώνου πλευρᾶς ἴσης μὲ 4 σπιθαμές.
Τὸ 400 στὴν συγκεκριμένη περίπτωση διαιρεῖται μὲ τὸ 14 6/13, ὁπότε προκύπτει ἐμβαδὸν ἴσο μὲ 27 2/3.

Σήμερα ὑπολογίζουμε τὴν πλευρὰ χ κανονικοῦ 10-γώνου ἐγγεγραμμένου σὲ κύκλο ἀκτίνας ρ χρησιμοποιώντας τὴν ἀναλογία ρ/χ= χ/(ρ- χ), ἀπὸ τὴν ὁποία προκύπτει ὅτι χ= (ρ/2)(√5- 1).

Κατόπιν χρησιμοποιοῦμε τὸν τύπο τοῦ Ἀρχιμήδη:
χ2ν= √[2ρ²- ρ√(4ρ²-χν²)], ἀπὸ τὸν ὁποῖον (ἐφαρμόζοντας γιὰ ν= 5 καὶ ἐπιλύοντας ὡς πρὸς χν= χ5) προκύπτει:
χ5= (ρ/2)√(10- 2√5).
Ἄν λοιπὸν ἡ πλευρὰ τοῦ πενταγώνου εἶναι ἴση μὲ 4 σπιθαμές, τότε ἀντικαθιστώντας στὴν σχέση αὐτή τὸ χ5 μὲ τὸ 4, θὰ ἔχουμε τὴν ἀκτίνα ἴση μὲ [√(10-2√5)(5+√5)]/5. Τὸ δὲ ἀπόστημα τοῦ 5-γώνου θὰ εἶναι ἴσο μὲ:
√[(10- 2√5)(5+√5)²/25- (ρ²/16)(10- 2√5)]. Ἀντικαθιστοῦμε τὴν ἤδη εὑρεθεῖσα τιμὴ τοῦ ρ, καὶ τελικὰ τὸ ἐμβαδὸν προκύπτει ἀπὸ τὸν τύπο:
Ε= 5(χ5.α5/2)=........= (5+√5)√(10+2√5)= 4√(25+10√5)= 27,6 κατὰ προσέγγιση.
13) Ὑπολογισμὸς τοῦ ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 9-γώνου
Χρησιμοποιοῦσαν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κανονικοῦ 10-γώνου καθὼς καὶ τοῦ κανονικοῦ 8-γώνου, τὰ ὁποῖα εἶναι 30 1/2 καὶ 30 1/6 ἀντίστοιχα. Εὕρισκαν τὸ "ἐξ' ἀναλόγου" αὐτῶν τῶν δύο ἀριθμῶν, τὸ ὁποῖο εἶναι ἴσο μὲ 30 1/3. Βλέπουμε ἐδῶ πὼς ἐννοοῦσαν τὴν μέση τιμὴ αὐτῶν τῶν δύο ἀριθμῶν, ἡ ὁποία μέση τιμὴ θεωροῦσαν πὼς εἶναι ἡ τιμὴ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κανονικοῦ 9-γώνου.
14) Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 7-γώνου
Εὕρισκαν τὸ "ἐξ ἀναλόγου" τῶν ἐμβαδῶν κανονικοῦ 8-γώνου καὶ 6-γώνου.